§ 18. Освоение космоса

Определения и обозначения

Искусственный спутник Земли — тело, выведенное на орбиту вокруг нашей планеты. В отличие от брошенного предмета, который быстро достигает поверхности, спутник имеет большую горизонтальную скорость и движется вокруг Земли. Это понятие нужно, чтобы описывать аппараты, созданные для связи, наблюдений и исследований.

Первая космическая скорость — минимальная скорость у поверхности Земли, при которой тело может двигаться по круговой орбите, если не учитывать сопротивление атмосферы. Она показывает, насколько быстро нужно запустить аппарат, чтобы он не упал на поверхность. Обозначим её v₁; у Земли она примерно равна 7,9 км/с.

Вторая космическая скорость — минимальная скорость у поверхности Земли, позволяющая преодолеть её притяжение и удалиться на бесконечность. Её обозначают v₂; значение около 11,2 км/с. Эта скорость нужна, чтобы понять, может ли тело покинуть окрестности Земли без дальнейшей работы двигателя.

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части вещества. В ракетном двигателе горячие газы выбрасываются назад, а ракета получает импульс вперёд. Понятие объясняет, почему ракета способна двигаться и в пустом космическом пространстве.

Как это устроено

На спутник действует сила тяготения, направленная к центру Земли. Поэтому он не летит по прямой, а непрерывно отклоняется к планете — в этом смысле спутник постоянно падает. Однако из-за горизонтальной скорости он за время падения успевает переместиться вперёд, а поверхность Земли искривляется под ним. Если скорость подходящая, спутник всё время падает мимо поверхности и остаётся на орбите.

Для круговой орбиты сила тяготения играет роль центростремительной силы, которая изменяет направление скорости спутника. Запишем GMm/R² = mv²/R, где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, m — масса спутника, R — радиус орбиты. После сокращения m получаем v = √(GM/R); у поверхности Земли можно использовать GM/R² = g, поэтому v₁ = √(gR). Масса спутника не входит в результат: при одинаковом расстоянии от Земли тела любой массы должны иметь одну и ту же орбитальную скорость.

Если изменить скорость спутника, изменится его траектория. При увеличении скорости круговая орбита может стать эллиптической, а спутник перейдёт на более высокую орбиту; при уменьшении скорости он опустится ниже. Когда начальная скорость достигает второй космической, энергии тела хватает, чтобы уйти от Земли и удаляться неограниченно далеко. При этом притяжение не исчезает мгновенно: оно лишь ослабевает с расстоянием.

Ракетный двигатель выбрасывает продукты сгорания назад с большой скоростью. До выброса суммарный импульс системы «ракета — топливо» был определённым; после выброса он сохраняется, если внешними силами можно пренебречь. Газы получают импульс назад, поэтому ракета получает импульс вперёд. Такое объяснение не требует воздуха: ракета взаимодействует с выбрасываемыми газами, а не отталкивается от окружающей среды.

Мощные ракетные двигатели позволяют сообщить аппаратам скорость, достаточную для выхода на орбиту или ухода от Земли. Так стали возможны запуск искусственных спутников, полёты человека в космос и отправка автоматических станций к Луне, планетам и другим небесным телам. Для каждого этапа полёта выбирают нужную скорость и направление, учитывая притяжение Земли и требуемую траекторию. Поэтому развитие ракетной техники расширило возможности наблюдения и исследования космоса.

Космические скорости и соответствующее движение

Сначала определите, какой результат требуется: оставаться на орбите или покинуть Землю. Затем сравните нужную скорость со значениями в таблице. Обратите внимание, что обе скорости указаны для запуска у поверхности Земли и без учёта сопротивления атмосферы.

Разбор задач

Задача 1. Спутник движется по круговой орбите у поверхности Земли. Найдём его скорость, используя радиус Земли R = 6,4 · 10⁶ м и ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². Предполагаем, что сопротивление атмосферы отсутствует.

1. Для кругового движения сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение, поэтому g = v²/R.
2. Выразим скорость: v = √(gR) = √(9,8 · 6,4 · 10⁶) м/с.
3. Получаем v ≈ 7,9 · 10³ м/с, то есть около 7,9 км/с.

Ответ: скорость спутника составляет примерно 7,9 км/с. Перед вычислением полезно проверить единицы: произведение м/с² на м имеет размерность м²/с², а после извлечения корня получается м/с.

Задача 2. Во сколько раз скорость ухода из поля тяготения Земли больше скорости кругового движения у её поверхности? Нужно сравнить вторую и первую космические скорости, а не подставлять числовые значения с округлением.

1. Первая скорость равна v₁ = √(GM/R), а вторая — v₂ = √(2GM/R).
2. Разделим выражения: v₂/v₁ = √(2GM/R) / √(GM/R).
3. Одинаковые множители сокращаются, и остаётся √2 ≈ 1,41.

Ответ: вторая космическая скорость примерно в 1,41 раза больше первой. Это сравнение относится к скоростям у поверхности Земли.

Задача 3. Ракета выбрасывает газы назад; масса ракеты до выброса равна M, после него — m, а скорость газов относительно ракеты по модулю равна u. Найдём изменение скорости ракеты, считая выброс коротким и пренебрегая внешними силами. Выберем направление вперёд за положительное.

1. Пусть начальная скорость системы равна V, а скорость ракеты после выброса — V + Δv. Тогда выброшенные газы имеют скорость примерно V − u относительно Земли.
2. Запишем сохранение импульса: MV = m(V + Δv) + (M − m)(V − u).
3. После сокращения одинаковых слагаемых получим mΔv = (M − m)u, поэтому Δv = (M − m)u/m.

Ответ: скорость ракеты увеличивается на (M − m)u/m. Направление изменения — вперёд, противоположно движению газов; чем больше выброшенная масса и скорость истечения, тем сильнее разгон.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что на спутник не действует сила тяжести. Так думают, потому что спутник не приближается к поверхности при равномерном движении по орбите. Но без тяготения он летел бы по прямой, а именно сила тяжести постоянно меняет направление его скорости. Проверка: в рассуждении об орбите должна присутствовать центростремительная сила, которую обеспечивает притяжение Земли.

Ошибка: путать первую и вторую космические скорости. Обе относятся к запуску с Земли, поэтому их назначение легко смешать. Первая обеспечивает круговое движение, вторая позволяет уйти из земного поля тяготения; численно вторая больше. Проверьте себя вопросом: аппарат должен остаться на орбите или удалиться от Земли навсегда?

Ошибка: считать, что ракета отталкивается от воздуха. Такое объяснение возникает из привычки связывать движение с опорой или окружающей средой. В действительности ракета получает импульс при выбросе газов и может разгоняться в вакууме. Проверка: примените закон сохранения импульса к системе «ракета — газы» — импульсы направлены в противоположные стороны.

Ошибка: включать массу спутника в формулу первой космической скорости. В исходном уравнении сила тяготения и центростремительная сила пропорциональны массе спутника. Приравняв их, эту массу нужно сократить, поэтому скорость от неё не зависит. Проверка: конечная формула должна иметь вид v₁ = √(GM/R) или v₁ = √(gR), без массы спутника.

Связь с другими темами

Для объяснения движения спутника нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона и формула центростремительного ускорения a = v²/R. Вместе они позволяют установить, какая скорость нужна для орбиты и почему она зависит от массы и радиуса Земли, но не от массы спутника. Позже эти знания помогут разбираться в движении планет и спутников. Закон сохранения импульса, в свою очередь, служит основой объяснения реактивного движения.

Что запомнить

• Спутник удерживается на орбите силой тяготения.
• Первая космическая скорость у поверхности Земли составляет примерно 7,9 км/с.
• Вторая космическая скорость у поверхности Земли составляет примерно 11,2 км/с.
• Вторая космическая скорость больше первой.
• Реактивное движение основано на законе сохранения импульса.
• Ракета может двигаться в вакууме, выбрасывая продукты сгорания назад.