27. Электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой могут происходить электромагнитные колебания. Конденсатор способен накапливать электрический заряд, а катушка связана с магнитным полем тока. Вместе они образуют систему, в которой энергия может переходить из одного вида в другой.

Электромагнитные колебания — периодические изменения заряда и напряжения на конденсаторе, а также силы тока в контуре. Заряд обычно обозначают q, силу тока — I, напряжение — U. Эти величины меняются согласованно, но достигают наибольших значений не одновременно.

Свободные электромагнитные колебания — колебания в контуре, возникающие после начального сообщения ему энергии и происходящие без внешнего периодического воздействия. Например, конденсатор сначала заряжают, а затем замыкают цепь с катушкой. Такое название помогает отличать собственные колебания контура от тех, которые поддерживаются внешним источником.

Период электромагнитных колебаний — время одного полного повторения состояния контура. Его обозначают T и измеряют в секундах. За один период конденсатор проходит полный цикл разрядки и перезарядки, а ток возвращается к прежнему значению и направлению.

Как это устроено

Чтобы получить свободные колебания, конденсатор сначала заряжают, например подключая к источнику напряжения. Затем источник отключают и соединяют конденсатор с катушкой, замыкая контур. В начальный момент энергия заключена в электрическом поле между обкладками, а в катушке тока ещё нет. После замыкания контура конденсатор получает возможность разряжаться через катушку.

При разрядке между обкладками сохраняется напряжение, поэтому электрическое поле приводит заряды в движение по замкнутой цепи. Это движение зарядов и есть электрический ток. Ток в катушке создаёт магнитное поле, а энергия электрического поля конденсатора постепенно переходит в энергию этого магнитного поля. Поэтому, пока конденсатор теряет заряд, ток в контуре нарастает.

Когда заряд конденсатора становится равен нулю, ток не исчезает вместе с ним. Катушка препятствует резкому изменению тока: возникшее магнитное поле поддерживает движение зарядов дальше в прежнем направлении. Из-за этого заряды начинают накапливаться на обкладках уже наоборот. Так конденсатор получает противоположную полярность, а энергия магнитного поля снова переходит в энергию электрического поля.

По мере перезарядки конденсатора ток ослабевает: магнитное поле катушки уменьшается, а электрическое поле конденсатора усиливается. Когда заряд становится максимальным по модулю и противоположным начальному, ток на мгновение равен нулю. Затем конденсатор начинает разряжаться в обратном направлении, и цикл повторяется. В идеальном контуре энергия не теряется: она лишь переходит между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки.

Период зависит от свойств обоих элементов контура и рассчитывается по формуле Томсона: T = 2π√(LC). Здесь L — индуктивность катушки, измеряемая в генри, а C — ёмкость конденсатора, измеряемая в фарадах. Увеличение любой из этих величин увеличивает период. Частота ν показывает число полных колебаний за секунду и связана с периодом формулой ν = 1/T.

На графике заряд q и сила тока I показаны относительно их наибольших значений. Когда заряд достигает максимума или минимума, ток равен нулю; когда заряд проходит через ноль, модуль тока максимален. Их характерные максимумы сдвинуты на четверть периода. Знак тока показывает его направление, которое меняется в течение колебаний.

Энергия в колебательном контуре

Таблица помогает проследить, как меняются энергия и ток в течение полного цикла. Под «максимальной» энергией понимается наибольшее значение для данного контура, а нулевой заряд не означает исчезновения энергии. Сравнивая соседние состояния, можно увидеть, как энергия переходит из электрического поля в магнитное и обратно.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор ёмкостью 4 мкФ и катушка индуктивностью 0,25 Гн образуют контур. Найдём период свободных колебаний. По формуле Томсона T = 2π√(LC), поэтому сначала важно перевести ёмкость в фарады.

1. Переводим ёмкость: 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф. Индуктивность уже дана в генри: L = 0,25 Гн. Перевод единиц нужен, чтобы формула дала период в секундах.
2. Подставляем: T = 2π√(0,25 · 4 · 10⁻⁶) = 2π√(10⁻⁶). Корень равен 10⁻³, значит T = 2π · 10⁻³ с ≈ 0,0063 с. Ответ: период около 6,3 мс.

Задача 2. Период колебаний в контуре равен 2 мс. Найдём частоту. Частота показывает число колебаний за секунду, поэтому используем связь ν = 1/T и выразим период в секундах.

1. Переводим миллисекунды: 2 мс = 0,002 с. Это можно записать как 2 · 10⁻³ с. Подстановка периода в миллисекундах без перевода дала бы неверный результат.
2. Находим частоту: ν = 1/0,002 = 500 с⁻¹. Один обратный секундный равен одному герцу. Ответ: частота равна 500 Гц.

Задача 3. Период колебаний равен 4 мс. Определим, когда после максимального заряда конденсатора заряд впервые станет равен нулю и когда ток достигнет максимума. За четверть периода конденсатор разряжается до нулевого заряда. В этот момент модуль тока максимален.

1. Находим четверть периода: T/4 = 4 мс / 4 = 1 мс. Следовательно, впервые заряд станет равен нулю через 1 мс после максимального заряда. Здесь отсчёт начинается с состояния, в котором ток равен нулю.
2. При нулевом заряде конденсатора энергия электрического поля минимальна, а энергия магнитного поля катушки максимальна. Поэтому модуль тока тоже достигает максимума через 1 мс. Ответ: оба события происходят через 1 мс.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что ток максимален при максимальном заряде конденсатора. Так можно подумать, связав большой заряд с большим током, но это разные величины: максимальный заряд означает, что конденсатор перестал разряжаться в данный момент. Проверка: в крайнем состоянии заряд не меняется мгновенно, поэтому ток равен нулю; максимален он при нулевом заряде.

Ошибка — полагать, что при переходе энергии между полями часть энергии исчезает. Такое впечатление возникает, если следить только за конденсатором или только за катушкой, не учитывая вторую часть контура. Проверка: при уменьшении энергии одного поля в идеальном контуре энергия другого увеличивается на столько же, так что их сумма остаётся постоянной.

Ошибка — подставлять микрофарады или миллигенри в формулу Томсона как обычные числа. При таком расчёте ответ получится неправильного масштаба, потому что формула требует величин в единицах СИ. Проверка: перед вычислением запишите C в фарадах, L в генри, а затем оцените, правдоподобен ли получившийся период.

Ошибка — считать, что после разрядки конденсатор перестаёт участвовать в колебаниях. Заряд действительно становится нулевым, но ток в катушке в этот момент максимален и продолжает течь благодаря магнитному полю. Проверка: проследите за током после разрядки — он переносит заряды на обкладки и перезаряжает конденсатор с противоположной полярностью.

Связь с другими темами

Для понимания контура нужны знания о заряде, силе тока и напряжении: ток описывает движение зарядов, а напряжение связано с электрическим полем конденсатора. Пригодятся и представления о магнитном поле катушки, которое возникает при прохождении тока. Связь между этими понятиями помогает объяснить, почему конденсатор разряжается не мгновенно и почему ток продолжает течь после нулевого заряда.

Обмен энергией в контуре подготавливает к изучению переменного тока и других колебательных систем. И там, и здесь величины периодически меняются, а энергия может переходить из одной формы в другую. Формула Томсона показывает, что период зависит от свойств системы, как и период механических колебаний зависит от свойств механической системы.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Свободные электромагнитные колебания возникают после начального сообщения контуру энергии.
• Заряд конденсатора и сила тока периодически изменяются.
• Энергия переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно.
• В идеальном контуре полная энергия сохраняется.
• Период колебаний определяется формулой Томсона T = 2π√(LC).
• Частота связана с периодом соотношением ν = 1/T.