"Физика. Электродинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Электрическое поле заряженных плоскости, сферы и шара удобно изучать благодаря их симметрии. Она позволяет определить направление поля и с помощью закона Гаусса найти его напряжённость без сложного суммирования сил. Для бесконечной плоскости поле постоянно, внутри заряженной сферической оболочки оно равно нулю, а внутри однородного шара растёт вместе с расстоянием от центра. Снаружи сферы и шара поле совпадает с полем точечного заряда.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Напряжённость электрического поля — векторная величина E = F/q, где F — сила, действующая на положительный пробный заряд q. Она показывает, какая сила пришлась бы на заряд 1 Кл в данной точке; единица измерения — Н/Кл. Направление E совпадает с направлением силы на положительный заряд.
Бесконечная равномерно заряженная плоскость — идеализированная плоскость с постоянной поверхностной плотностью заряда σ, то есть зарядом на единицу площади. Поле по обе стороны направлено перпендикулярно плоскости: от неё при σ > 0 и к ней при σ < 0. Такая модель нужна, когда размерами плоскости можно пренебречь.
Заряженная сфера в этом параграфе — тонкая сферическая поверхность радиуса R, на которой заряд распределён равномерно. Внутри и снаружи такой оболочки поле ведёт себя по-разному: внутри оно отсутствует, а снаружи зависит от расстояния до центра. Полный заряд сферы обозначают Q.
Заряженный шар — объёмное тело сферической формы, внутри которого заряд распределён равномерно. Внутри шара учитывается только заряд, заключённый в радиусе r, поэтому поле там изменяется с расстоянием; снаружи действует весь заряд Q. Объёмную плотность заряда обычно обозначают ρ.
У бесконечной равномерно заряженной плоскости любая точка плоскости равноправна, а поворот вокруг нормали не меняет распределения заряда. Поэтому горизонтальные составляющие поля взаимно компенсируются, и остаётся только нормальная составляющая. При удалении от плоскости площадь участков, создающих поле, увеличивается, поэтому ослабление от отдельных элементов компенсируется их большим числом: итоговая напряжённость не зависит от расстояния.
Для применения закона Гаусса выбирают цилиндрическую поверхность, пересекающую плоскость двумя одинаковыми основаниями. Поток через боковую поверхность равен нулю, потому что поле направлено вдоль её поверхности, а через основания он равен 2ES. Внутри цилиндра находится заряд σS, поэтому 2ES = σS/ε₀ и E = σ/(2ε₀).
Для равномерной сферической оболочки симметрия требует, чтобы поле было радиальным и имело одинаковую величину на сферической поверхности радиуса r. Если r < R, гауссова сфера не охватывает заряд, значит поток и поле равны нулю. Если r > R, она охватывает весь заряд Q, поэтому E·4πr² = Q/ε₀ и получается поле точечного заряда в центре.
У однородного шара при r < R заряд внутри гауссовой сферы пропорционален её объёму: Qr = Qr³/R³. Подстановка в закон Гаусса даёт E = kQr/R³, то есть линейный рост от центра к поверхности. При r > R заключён весь заряд Q, и поле убывает как 1/r²; на поверхности обе формулы дают одно и то же значение kQ/R².
В таблице сначала найдите источник поля, затем область наблюдения и только после этого выбирайте формулу. Для сферических тел сравните расстояние r с радиусом R; направление радиального поля зависит от знака заряда. В точке r = R для тонкой оболочки есть скачок, а для однородного шара значение меняется непрерывно.
| Источник поля | Область наблюдения | Формула напряжённости | Направление поля | Зависимость от расстояния |
|---|---|---|---|---|
| Бесконечная плоскость | По обе стороны плоскости | E = σ/(2ε₀) | Перпендикулярно плоскости | Не зависит от расстояния |
| Сферическая поверхность | Внутри сферы, r < R | E = 0 | Отсутствует | Поле равно нулю |
| Сферическая поверхность | Снаружи сферы, r > R | E = kQ/r² | По радиусу от центра или к центру | Убывает как 1/r² |
| Однородно заряженный шар | Внутри шара, r < R | E = kQr/R³ | По радиусу от центра или к центру | Возрастает как r |
| Однородно заряженный шар | Снаружи шара, r > R | E = kQ/r² | По радиусу от центра или к центру | Убывает как 1/r² |
| Граничная точка r = R | Поверхность сферы или шара | Проверить согласование внутренних и внешних формул | Направление радиальное | Для шара поле непрерывно, для тонкой сферы имеет скачок |
Условие. Поверхностная плотность заряда бесконечной плоскости равна σ. Найдите напряжённость поля и силу, действующую на заряд q, расположенный рядом с плоскостью.
Ответ: E = σ/(2ε₀), F = qσ/(2ε₀) по модулю. При σ > 0 поле направлено от плоскости.
Условие. Равномерно заряженная сферическая оболочка имеет радиус R и полный заряд Q. Найдите напряжённость в точках на расстояниях r₁ < R и r₂ > R от центра.
Ответ: E(r₁) = 0, E(r₂) = kQ/r₂². Направление внешнего поля радиальное: наружу при Q > 0 и к центру при Q < 0.
Условие. Однородно заряженный шар радиуса R и заряда Q. Найдите расстояние r внутри шара, где напряжённость равна половине поверхностной, и сравните поле с внешним на расстоянии 2R.
Ответ: искомая точка находится на расстоянии R/2 от центра. Поле там равно E(R)/2, а на расстоянии 2R — E(R)/4.
Поле плоскости считают убывающим как 1/r². Так ведёт себя поле точечного заряда, но у бесконечной плоскости вклад всё новых участков компенсирует ослабление. Проверьте источник: если он бесконечен и плоский, используйте E = σ/(2ε₀).
Внутри заряженной сферы используют формулу точечного заряда. Заряд оболочки находится на границе, а внутренняя гауссова поверхность его не охватывает. Для тонкой равномерной оболочки при r < R всегда E = 0.
Внутри однородного шара применяют внешнюю формулу. Гауссова поверхность радиуса r охватывает лишь часть объёмного заряда, поэтому нужно использовать E = kQr/R³. Проверка проста: внутренняя формула должна дать ноль в центре и совпасть с внешней на поверхности.
Путают σ и ρ. σ — заряд на единицу площади, а ρ — заряд на единицу объёма, поэтому полный заряд считают по разным формулам: Q = σS или Q = ρV. Перед вычислением определите, где расположен заряд.
Для понимания темы нужны напряжённость электрического поля, закон Кулона, принцип суперпозиции и закон Гаусса. Полученные формулы применяются при изучении конденсаторов, электростатического равновесия проводников и распределения заряда в проводниках. Они также помогают рассчитывать поля сферических оболочек, заряженных шаров и приближённо описывать тела с высокой симметрией.
Почему поле бесконечной заряженной плоскости не зависит от расстояния?
У бесконечной плоскости нет выделенного места: при удалении от неё вклад дальних участков компенсирует уменьшение вклада ближайших. Поэтому напряжённость остаётся одинаковой на любом расстоянии и определяется только поверхностной плотностью заряда.
Почему внутри заряженной сферы поле равно нулю?
Для сферической гауссовой поверхности внутри оболочки заключённый заряд равен нулю. По закону Гаусса поток поля через неё равен нулю, а из-за симметрии это возможно только при E = 0.
Чем поле заряженной сферы отличается от поля заряженного шара внутри тела?
У тонкой сферической оболочки весь заряд расположен на поверхности, поэтому внутри поле равно нулю. У однородного шара заряд распределён по объёму: при увеличении радиуса внутри гауссовой поверхности заключённый заряд растёт, и поле пропорционально r.
Почему снаружи сферы и шара можно считать заряд сосредоточенным в центре?
Сферическая симметрия делает поле на одинаковом расстоянии от центра одинаковым по модулю и радиальным по направлению. Закон Гаусса тогда даёт ту же напряжённость, что и точечный заряд Q в центре.
Как понять, какую формулу напряжённости применять в конкретной точке?
Сначала определите источник поля и сравните расстояние r с его радиусом R. Для плоскости используйте E = σ/(2ε₀), для оболочки внутри E = 0, а снаружи E = kQ/r²; для шара внутри E = kQr/R³, снаружи E = kQ/r².
§ 1.12. Поле заряженной плоскости, сферы и шара
