§ 1.13. Проводники в электростатическом поле

Определения и обозначения

Свободные заряды — заряды в проводнике, способные перемещаться под действием электрического поля. В металлах такую роль в основном выполняют электроны, тогда как положительные ионы кристаллической решётки почти неподвижны. Это понятие нужно, чтобы объяснить проводимость и перераспределение заряда.

Электростатическое равновесие — состояние проводника, при котором свободные заряды больше не перемещаются. Они всё ещё находятся в электрическом поле, но результирующая сила на каждый свободный заряд внутри проводника равна нулю. Это состояние позволяет применять основные свойства проводников.

Электростатическая индукция — перераспределение свободных зарядов в проводнике под действием внешнего электрического поля. В результате на разных участках поверхности появляются заряды разных знаков, хотя общий заряд изолированного тела может не измениться. Так проводник приспосабливается к окружающему полю.

Электростатическая защита — ослабление или устранение электрического поля внутри замкнутого проводника. Перераспределившиеся заряды оболочки создают поле, компенсирующее внешнее. На этом основана защита приборов металлическими корпусами.

Как это устроено

Свободный заряд в электрическом поле испытывает силу F = qE, поэтому начинает перемещаться. В проводнике такое движение продолжается до тех пор, пока перераспределение зарядов не создаст поле, компенсирующее исходное внутри тела. После этого силы на свободные заряды уравновешиваются, и устанавливается электростатическое равновесие.

В состоянии равновесия напряжённость внутри проводника равна нулю. Если бы E не была равна нулю, на свободный заряд действовала бы сила, и движение продолжалось бы. Следовательно, нулевое поле — не отдельное свойство любого движущегося проводника, а результат завершившегося перераспределения зарядов.

Избыточный заряд не может оставаться внутри проводника в равновесии. Можно мысленно окружить внутреннюю область проводника замкнутой поверхностью: поле на ней равно нулю, поэтому по закону Гаусса поток равен нулю и заключённый внутри заряд равен нулю. Значит, весь избыточный заряд выходит на внешнюю поверхность.

У поверхности проводника напряжённость не имеет касательной составляющей. Если бы такая составляющая существовала, она направляла бы свободные заряды вдоль поверхности и нарушала равновесие. Поэтому вектор E направлен по нормали к поверхности, а касательная составляющая равна нулю.

Поверхностный заряд распределяется неравномерно, потому что форма проводника меняет условия равновесия. На остром участке поверхность сильно искривлена, и большему числу линий поля приходится выходить через небольшую площадь. Поэтому там выше поверхностная плотность заряда и сильнее поле, что используется, например, в молниеотводах.

Свойства проводника в электростатическом равновесии

Таблица помогает быстро определить, что происходит в разных областях проводника. В строках указаны не только внутренние и внешние участки, но и особые случаи: острый выступ, полость и внешнее поле. При решении задач сначала выясняйте, относится ли рассматриваемая точка к толще проводника, поверхности или окружающему пространству.

Разбор задач

Задача 1. Изолированному металлическому шару радиусом R сообщили заряд Q. Найдём напряжённость поля внутри шара, на его поверхности и вне шара.

1. Внутри металла действует условие равновесия: E = 0.
2. Сферическая симметрия означает, что вне шара поле такое же, как поле точечного заряда Q в центре. Поэтому E = kQ/r² при r > R.
3. У поверхности снаружи нужно положить r = R и получить E = kQ/R². Непосредственно внутри поверхности поле равно нулю, поэтому на самой поверхности значения поля с двух сторон различаются.

Ответ: внутри шара E = 0; сразу снаружи поверхности E = kQ/R²; вне шара E = kQ/r², где r > R.

Задача 2. Незаряженный металлический шар помещён рядом с положительно заряженным телом. Определим перераспределение зарядов и общий заряд шара.

1. Положительное внешнее тело притягивает свободные электроны шара, поэтому отрицательный заряд смещается на ближнюю сторону.
2. На дальней стороне возникает недостаток электронов, то есть положительный заряд. Такое разделение зарядов и есть электростатическая индукция.
3. Шар изолирован и первоначально не имел заряда, поэтому число электронов в нём не изменилось. Суммарный заряд ближней и дальней частей остаётся равным нулю.

Ответ: ближняя сторона шара заряжается отрицательно, дальняя — положительно; общий заряд шара равен нулю.

Задача 3. Внутри замкнутой проводящей оболочки находится точечный заряд q, не касающийся стенок. Оболочка первоначально имела заряд Q. Найдём заряды её поверхностей.

1. В толще металла поле должно быть нулевым. Поэтому на внутренней поверхности индуцируется заряд −q, компенсирующий поле точечного заряда в металле.
2. Полный заряд оболочки сохраняется и равен Q. Если на внутренней поверхности находится −q, то внешний заряд должен удовлетворять Q = −q + Qвнеш.
3. Отсюда Qвнеш = Q + q. Этот заряд располагается на внешней поверхности и создаёт поле снаружи оболочки.

Ответ: на внутренней поверхности заряд −q, на внешней поверхности заряд Q + q.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что внутри любого проводника поле всегда равно нулю. Это верно для электростатического равновесия, а при движении зарядов или изменении поля переходный процесс ещё не завершён. Проверьте, сказано ли в условии, что равновесие установилось.

Ошибка — утверждать, что весь заряд проводника распределён по поверхности равномерно. Равномерность характерна лишь для симметричных случаев, например изолированного шара. Сверьте форму тела и наличие внешних зарядов.

Ошибка — направлять напряжённость у поверхности вдоль неё. Касательная составляющая вызвала бы движение свободных зарядов, поэтому в равновесии поле направлено по нормали. Проверка проста: разложите E на нормальную и касательную составляющие.

Ошибка — путать электростатическую индукцию с появлением нового суммарного заряда. При индукции заряды лишь разделяются, а общий заряд изолированного незаряженного проводника остаётся нулевым. Используйте закон сохранения заряда.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны понятия электрического заряда, напряжённости поля, закона Кулона и закона Гаусса. Она связана с потенциалом: в равновесии все точки проводника имеют одинаковый потенциал. Эти знания применяются при изучении конденсаторов, электростатической защиты, молниеотводов и электронных приборов.

Что запомнить

• В состоянии электростатического равновесия поле внутри проводника равно нулю.
• Свободные заряды проводника перемещаются до исчезновения поля внутри него.
• Избыточный заряд проводника располагается на его поверхности.
• У поверхности проводника напряжённость направлена по нормали к поверхности.
• Вблизи острых участков плотность поверхностного заряда и напряжённость поля больше.
• Замкнутый проводник может защищать внутреннее пространство от внешнего электростатического поля.