"Физика. Электродинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Электрическое сопротивление проводника зависит не только от его материала и размеров, но и от температуры. У металлов при нагревании оно обычно растёт, а у полупроводников — уменьшается. В ограниченном диапазоне температур изменение сопротивления металла описывают линейной формулой с температурным коэффициентом. Эта зависимость позволяет измерять температуру термометрами сопротивления, создавать датчики и защищать устройства от перегрева; при охлаждении некоторых веществ возникает сверхпроводимость.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Температурный коэффициент сопротивления — величина, характеризующая относительное изменение сопротивления проводника при изменении температуры на один градус. Его обозначают α и измеряют в 1/°C или 1/K. Коэффициент позволяет сравнивать, насколько сильно меняется сопротивление разных материалов при одинаковом нагревании.
Сопротивление при опорной температуре — значение сопротивления, с которым сравнивают сопротивление при других температурах. Обычно его обозначают R₀, а температуру, при которой оно измерено, — T₀. Такая точка отсчёта нужна, чтобы вычислять изменение сопротивления, а не рассматривать его отдельно от условий измерения.
Линейная зависимость сопротивления от температуры — приближённая зависимость, описываемая формулой R = R₀(1 + αΔT) в ограниченном интервале температур. Здесь ΔT = T − T₀, а R — сопротивление при новой температуре. Формула удобна для расчётов, если α в выбранном диапазоне можно считать постоянным.
Сверхпроводимость — состояние вещества, при котором ниже критической температуры электрическое сопротивление практически исчезает. Критическая температура зависит от вещества и условий. Это явление важно для получения токов без обычных потерь энергии и создания сильных магнитных полей.
В металле положительные ионы образуют кристаллическую решётку, а часть электронов может перемещаться между её узлами. При нагревании частицы решётки получают больше энергии и сильнее колеблются около своих обычных положений. Чем интенсивнее эти колебания, тем менее упорядоченно выглядит путь движущихся электронов сквозь металл.
Электрический ток в металле связан с направленным движением электронов. Они сталкиваются с колеблющимися узлами решётки и теряют часть направленного движения, поэтому для поддержания того же тока требуется большее электрическое поле. Иначе говоря, столкновения затрудняют перенос заряда; при неизменных размерах и материале проводника это проявляется как увеличение сопротивления.
На небольшом интервале температур усиление колебаний решётки меняется достаточно плавно. Поэтому кривую зависимости R от T на таком участке можно приближённо заменить прямой. Относительное изменение сопротивления на один градус и характеризует температурный коэффициент α, а сравнение ведут с сопротивлением R₀ при выбранной опорной температуре T₀. Так получается формула R = R₀(1 + αΔT), где ΔT = T − T₀.
У полупроводников при нагревании важен не только рост числа столкновений. Тепловая энергия может высвобождать дополнительные электроны и создавать подвижные носители заряда, способные участвовать в токе. Их концентрация обычно растёт настолько сильно, что влияние дополнительных столкновений оказывается слабее; поэтому сопротивление полупроводника, как правило, уменьшается.
Линейная формула не описывает поведение вещества при любых температурах: на широком диапазоне α может заметно меняться, а зависимость становиться нелинейной. В подходящем диапазоне изменение сопротивления позволяет измерять температуру термометром сопротивления или терморезистором — элементом, сопротивление которого заметно меняется при нагревании. Датчики используют для контроля температуры, а схемы защиты могут отключать устройство при перегреве.
В таблице сопоставлены направление изменения сопротивления, знак температурного коэффициента, причина эффекта и его применение. Знак «+» означает, что при повышении температуры сопротивление обычно растёт, а «−» — что обычно уменьшается. Для сплавов и сверхпроводников нужно учитывать особенности конкретного материала и температурный диапазон.
| Материал или явление | Изменение сопротивления при нагревании | Знак температурного коэффициента | Основная причина | Практическое применение |
|---|---|---|---|---|
| Металлы | Обычно увеличивается | Положительный (+) | Усиление колебаний решётки и учащение столкновений электронов | Термометры сопротивления, датчики температуры |
| Сплавы с малым температурным коэффициентом | Меняется слабо | Близкий к нулю | Состав сплава ослабляет температурное изменение сопротивления | Резисторы и измерительные приборы со стабильным сопротивлением |
| Полупроводники | Обычно уменьшается | Обычно отрицательный (−) | При нагревании растёт концентрация свободных носителей заряда | Терморезисторы, температурные датчики |
| Сверхпроводники | При охлаждении ниже критической температуры резко падает практически до нуля | Для перехода в сверхпроводящее состояние знак не описывают одной постоянной α | Возникает сверхпроводящее состояние вещества | Сверхпроводящие магниты и устройства на основе сверхпроводников |
Сначала определим опорные величины: R₀ = 10 Ом при T₀ = 20 °C. Искомая температура равна 70 °C, поэтому изменение составляет ΔT = 70 − 20 = 50 °C. В формулу подставляют именно это изменение, а не 70 °C.
Используем линейную модель R = R₀(1 + αΔT). Подставляем данные: R = 10(1 + 0,004 · 50) = 10 · 1,2 = 12 Ом. Произведение αΔT безразмерно, поэтому единица результата остаётся омом.
Полученное сопротивление больше начального, что согласуется с положительным коэффициентом металла. Ответ: при 70 °C сопротивление проводника равно 12 Ом. Расчёт предполагает, что линейная модель подходит для диапазона от 20 до 70 °C.
Опорное сопротивление R₀ = 8 Ом измерено при T₀ = 20 °C, а при T = 70 °C сопротивление стало 9,6 Ом. Изменение температуры равно ΔT = 70 − 20 = 50 °C, а сопротивления — ΔR = 9,6 − 8 = 1,6 Ом. Запишем эти данные, чтобы не перепутать начальное и конечное значения.
Из формулы R = R₀(1 + αΔT) вычтем единицу после деления на R₀: α = (R/R₀ − 1)/ΔT. Подставляем числа: α = (9,6/8 − 1)/50 = 0,2/50 = 0,004 1/°C. Можно проверить и через α = ΔR/(R₀ΔT): 1,6/(8 · 50) даёт тот же результат.
Коэффициент положительный, потому что сопротивление при нагревании увеличилось. Ответ: α = 0,004 1/°C. Единица показывает относительное изменение сопротивления на каждый градус.
Обозначим опорные значения через R₀ = 100 Ом и T₀, а измеренное сопротивление — R = 112 Ом. Чтобы найти температуру, преобразуем формулу: R/R₀ = 1 + α(T − T₀), откуда T = T₀ + (R/R₀ − 1)/α. В условии не указаны численные значения α и T₀, поэтому получить единственный численный ответ нельзя.
Подставим известные сопротивления: T = T₀ + (112/100 − 1)/α = T₀ + 0,12/α. Если коэффициент дан в 1/°C, прибавка получится в градусах Цельсия. Например, при α = 0,004 1/°C и T₀ = 20 °C формула дала бы T = 20 + 30 = 50 °C.
Численный результат можно сообщить только после подстановки коэффициента и опорной температуры именно данного датчика. Нужно также проверить, что найденная температура лежит в диапазоне, для которого зависимость сопротивления считают линейной. Ответ в общем виде: T = T₀ + 0,12/α; при приведённых условных данных примерный результат — 50 °C.
Подстановка конечной температуры вместо изменения ΔT = T − T₀ завышает результат, потому что формула отсчитывает изменение от опорной точки. Так ошибаются, принимая T за ΔT и забывая вычесть T₀. Перед расчётом отдельно запишите обе температуры и найдите их разность; при T = T₀ должно получиться R = R₀.
Температурный коэффициент имеет единицу 1/°C или 1/K, а не Ом. Если в коэффициенте и изменении температуры используются несогласованные единицы, расчёт теряет смысл. Проверьте единицы α и ΔT: разность в градусах Цельсия и кельвинах имеет одинаковое численное значение, но не следует путать температуру со шкалой и температурное изменение.
Нельзя считать, что сопротивление любого вещества при нагревании увеличивается: у полупроводников оно обычно падает. Ошибка возникает, когда свойство металлов без проверки переносят на все материалы. Сверьтесь с видом вещества и ожидаемым знаком α; у полупроводников температурный коэффициент обычно отрицательный.
Линейную формулу применяют за пределами подходящего интервала, хотя α может зависеть от температуры. Тогда расчёт даёт лишь грубую оценку и может заметно отличаться от измерения. Проверьте, указан ли рабочий диапазон модели; при большом нагревании нужны таблица свойств, график или более точная зависимость.
Для понимания зависимости сопротивления от температуры нужны закон Ома и формула сопротивления однородного проводника. Связь R с удельным сопротивлением объясняет, почему изменение свойств материала влияет на проводник заданных размеров. Микроскопическое объяснение опирается на строение металлов, движение электронов и столкновения заряженных частиц.
Дальше эти знания пригодятся при изучении измерительных приборов, термометров сопротивления и терморезисторов. Они помогают понять, как температура меняет электрическую мощность и почему перегрев может повредить устройство. Зависимость также связана со сверхпроводимостью — особым состоянием вещества при охлаждении ниже критической температуры.
Почему сопротивление металла растёт при нагревании?
При нагревании узлы кристаллической решётки сильнее колеблются. Электроны чаще сталкиваются с ними, поэтому их направленное движение затрудняется и сопротивление металла увеличивается.
Почему у полупроводника сопротивление уменьшается при повышении температуры?
Нагревание создаёт в полупроводнике больше свободных электронов и других подвижных носителей заряда. Их концентрация растёт настолько сильно, что обычно перекрывает влияние участившихся столкновений, и сопротивление уменьшается.
Чем отличается температурный коэффициент сопротивления от самого сопротивления?
Сопротивление R измеряется в омах и показывает, насколько проводник препятствует току при данных условиях. Температурный коэффициент α показывает относительное изменение сопротивления на один градус и измеряется в 1/°C или 1/K.
Почему в формуле используется разность температур, а не сама температура?
Формула сравнивает сопротивление при текущей температуре с сопротивлением при опорной температуре T₀. Поэтому изменение равно ΔT = T − T₀: если температура не изменилась, то ΔT = 0 и сопротивление остаётся R₀.
Всегда ли зависимость сопротивления от температуры является линейной?
Нет. Линейная формула приближённо работает лишь в ограниченном диапазоне температур, где температурный коэффициент можно считать постоянным. При большом изменении температуры зависимость может стать нелинейной.
§ 2.5. Зависимость электрического сопротивления от температуры
