Упражнение 8

Определения и обозначения

Магнитный поток Φ — величина, показывающая, насколько магнитное поле пронизывает выбранную поверхность. Для плоского контура Φ = BS cos α, единица измерения — вебер (Вб). Поток нужен, чтобы количественно описать изменение действия магнитного поля на контур.

Электромагнитная индукция — явление возникновения ЭДС в контуре при изменении магнитного потока через него. Изменение может быть вызвано движением магнита, контура или изменением самого поля. Это понятие связывает изменение магнитного поля с появлением электрического тока.

Индукционная ЭДС определяется законом Фарадея: ε = −ΔΦ/Δt. Модуль ЭДС показывает, насколько быстро меняется поток, а знак «минус» указывает направление действия ЭДС: оно противодействует изменению потока.

Правило Ленца определяет направление индукционного тока: его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызвавшему ток. Сначала выясняют, увеличивается поток или уменьшается, затем устанавливают направление создаваемого поля. Правило позволяет найти направление тока даже без вычисления его значения.

Как это устроено

Постоянное магнитное поле само по себе не создаёт индукционную ЭДС в неподвижном контуре. ЭДС возникает только тогда, когда меняется магнитный поток, то есть меняется «количество» поля, пронизывающего поверхность контура. Поэтому магнит, неподвижный рядом с рамкой, не вызывает тока, а его движение вызывает изменение потока и появление ЭДС.

Поток Φ = BS cos α зависит сразу от трёх факторов: магнитной индукции B, площади S и ориентации контура. Если меняется B, поле через ту же поверхность становится сильнее или слабее. Если меняется площадь или угол α, изменяется часть поля, проходящая через контур, поэтому поток также меняется.

Модуль ЭДС находят по формуле |ε| = |ΔΦ|/Δt. Для замкнутой цепи силу тока вычисляют по закону Ома: I = |ε|/R, где R — полное сопротивление цепи. Значит, более быстрое изменение потока или меньшее сопротивление приводят к большему индукционному току.

Знак «минус» в формуле ε = −ΔΦ/Δt не означает отрицательное значение модуля ЭДС. Он указывает выбранное направление обхода контура и показывает, что ток создаёт поле, направленное против изменения потока. Если поток увеличивается, ток стремится его уменьшить; если поток уменьшается, ток стремится его поддержать.

Для решения задачи удобно сначала выбрать положительное направление обхода контура, а затем связать его с направлением нормали правилом правой руки. После этого определяют изменение потока и направление поля индукционного тока по правилу Ленца. Если полученное направление тока не согласуется с выбранной нормалью, знак результата меняется, но физический вывод остаётся тем же.

Величины и способы возникновения индукционной ЭДС

Таблица помогает определить, какой множитель в формуле потока изменяется. Сначала запишите начальное и конечное значения Φ, затем найдите их разность и разделите её на время изменения. Направление тока устанавливают отдельно по правилу Ленца, а не по одному только модулю ЭДС.

Разбор задач

Изменение магнитной индукции

Условие: в однородном поле площадь контура S и его ориентация постоянны, а индукция равномерно меняется от B₁ до B₂ за время Δt. Найти модуль ЭДС.

1. Так как S и α постоянны, изменение потока связано только с изменением B: ΔΦ = S cos α · (B₂ − B₁).
2. Подставим это выражение в закон Фарадея и возьмём модуль: |ε| = S cos α · |B₂ − B₁|/Δt.
3. Если поле перпендикулярно плоскости контура, α = 0 и cos α = 1, поэтому |ε| = S|B₂ − B₁|/Δt.

Ответ: |ε| = S cos α · |ΔB|/Δt; при перпендикулярном поле |ε| = S|ΔB|/Δt.

Рамка выходит из магнитного поля

Условие: прямоугольная рамка со стороной l выходит из однородного поля со скоростью v. Поле перпендикулярно рамке, сопротивление рамки R. Определить ток.

1. При выходе площадь рамки, находящаяся в поле, уменьшается, поэтому магнитный поток уменьшается.
2. За время Δt из поля выходит площадь ΔS = lvΔt. Поэтому |ΔΦ| = BlvΔt, а ЭДС равна |ε| = Blv.
3. По закону Ома сила тока I = |ε|/R = Blv/R.
4. По правилу Ленца ток создаёт поле в прежнем направлении, поддерживая уменьшающийся поток. Если внешнее поле направлено в плоскость страницы, ток идёт по часовой стрелке.

Ответ: I = Blv/R, направление — такое, чтобы поддерживать поток при выходе рамки.

Движущийся проводящий стержень

Условие: стержень длиной l движется со скоростью v по рельсам в однородном поле B и замыкает контур сопротивлением R. Движение перпендикулярно стержню и линиям поля. Найти ток и механическую силу для равномерного движения.

1. Площадь контура за время Δt увеличивается на ΔS = lvΔt, поэтому изменение потока равно ΔΦ = BlvΔt.
2. ЭДС движения: ε = Blv. Тогда I = ε/R = Blv/R.
3. На стержень с током действует сила Ампера F_м = BIl. Она направлена против движения, поэтому внешняя сила при равномерном движении имеет такой же модуль.
4. Подставляя ток, получаем F = B²l²v/R. Механическая мощность внешней силы Fv превращается в теплоту I²R.

Ответ: I = Blv/R, F = B²l²v/R; внешняя сила направлена по движению, а сила Ампера — против него.

Типичные ошибки

Постоянное поле считают достаточным условием тока. Ошибка появляется из-за смешения магнитного поля и его изменения. Проверьте, меняется ли Φ; при постоянном потоке индукционная ЭДС равна нулю.

В формулу подставляют угол между плоскостью и полем. В выражении Φ = BS cos α нужен угол между B и нормалью к поверхности. Нарисуйте перпендикуляр к контуру и измерьте угол именно с ним.

Знак «минус» игнорируют при поиске направления. Тогда ток начинают направлять просто по изменению внешнего поля, что противоречит правилу Ленца. Спросите себя, какое поле должен создать ток: ослабляющее увеличение потока или поддерживающее его уменьшение.

Формулу ε = Bvl применяют без проверки условий. Она подходит для прямого проводника при нужной ориентации движения и поля; в общем случае учитывается перпендикулярная составляющая скорости. Проверьте, что проводник пересекает линии поля, а контур замкнут.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны магнитная индукция, сила Ампера, закон Ома и правила определения направлений векторов. Эти знания позволяют связать изменение потока с ЭДС и током.

Электромагнитная индукция объясняет работу генераторов, трансформаторов и появление вихревых токов. В движущемся проводнике механическая энергия превращается в электрическую, а затем частично — во внутреннюю энергию сопротивления.

Что запомнить

• Индукционная ЭДС возникает при изменении магнитного потока через контур.
• Магнитный поток зависит от магнитной индукции, площади контура и его ориентации.
• Модуль ЭДС равен скорости изменения магнитного потока.
• Направление индукционного тока определяется правилом Ленца.
• Индукционный ток противодействует причине, вызвавшей его появление.
• Сила индукционного тока определяется законом Ома для замкнутой цепи.
• Возникновение индукционного тока сопровождается превращением энергии.