§ 4.11. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Магнитный поток Φ — величина, которая характеризует, насколько магнитное поле пронизывает поверхность контура. В однородном поле Φ = BS cos α, где B — магнитная индукция, S — площадь, а α — угол между полем и нормалью к поверхности. Поток зависит и от силы поля, и от площади, и от ориентации контура, поэтому помогает увидеть, что именно меняется в задаче.

ЭДС индукции ε — характеристика действия электрического поля, которое возникает при изменении магнитного потока и может вызвать ток в замкнутой цепи. Закон электромагнитной индукции записывают как ε = −dΦ/dt, а для катушки из N витков — ε = −N dΦ/dt. Модуль ЭДС показывает скорость изменения потока, а знак указывает на выбранное направление отсчёта.

Правило Ленца определяет направление индукционного тока: созданное им магнитное поле противодействует изменению потока, вызвавшему ток. Поэтому сначала выясняют, растёт поток или уменьшается, и только затем устанавливают направление поля и тока. Это правило объясняет знак минус в законе индукции.

Физическая модель задачи — упрощённое описание ситуации, в котором выделены существенные тела, взаимодействия и величины. Например, поле считают однородным, проводник — тонким, а сопротивление соединительных проводов иногда принимают равным нулю. Такая модель позволяет определить неизвестную величину, не отвлекаясь на детали, которыми в условии можно пренебречь.

Как это устроено

Сначала из условия выделяют систему: например, стержень, рельсы и резистор либо катушку в заданном поле. Записывают известные величины с единицами и отдельно формулируют, что требуется найти. Такой порядок помогает не подменить вопрос задачи близкой, но не той величиной: например, вычислить ЭДС вместо силы тока.

Решение удобно начинать с рисунка, потому что направление поля, движения и обхода контура определяет знак ответа. На схеме отмечают вектор магнитной индукции, скорость проводника, выбранную нормаль к контуру и положительное направление тока. Направление нормали можно выбрать произвольно, но выбранные направления нужно использовать последовательно во всех формулах.

Закон выбирают по физической причине явления. Если меняется поток, применяют закон электромагнитной индукции; если заряды движутся в магнитном поле, силу на них описывает сила Лоренца. Когда ЭДС уже найдена, для цепи используют закон Ома, а при анализе превращения работы в энергию — закон сохранения энергии. Несколько законов могут понадобиться последовательно, а не вместо друг друга.

Чтобы найти изменение потока, используют Φ = BS cos α. Если меняется только поле, сравнивают B в начальный и конечный моменты; если движется граница контура — вычисляют изменение площади; если контур поворачивается — учитывают угол α. При одновременном изменении нескольких величин сначала записывают полный поток, а затем находят его изменение или производную по времени.

В конце проверяют не только арифметику, но и смысл результата. ЭДС измеряется в вольтах, магнитный поток — в веберах, а ток — в амперах; несоответствие единиц часто указывает на пропущенную величину. Знак сверяют с выбранным обходом и правилом Ленца, а предельная проверка проста: если поток постоянен, индукционная ЭДС должна исчезнуть.

Типы задач по электромагнитной индукции и основные приёмы решения

Сначала найдите в таблице модель, похожую на условие, а затем выберите соответствующий закон. Последний столбец подсказывает, какие величины и направления ещё нужно проверить. Если ситуация сочетает несколько моделей, решайте её по этапам: например, найдите ЭДС движения, а затем ток по закону Ома.

Разбор задач

Задача 1. Стержень длины l движется со скоростью v перпендикулярно однородному полю B и замыкает цепь сопротивлением R. Найти ЭДС, силу и направление тока. Предположим, что поле, скорость и стержень взаимно перпендикулярны, а сопротивлением стержня и проводов можно пренебречь.

1. На заряды в стержне действует сила Лоренца qv × B, поэтому положительные и отрицательные заряды разделяются.
2. Разность потенциалов на концах стержня равна ЭДС движения: ε = Blv. По закону Ома I = ε/R = Blv/R.
3. Направление тока найдите по правилу Ленца: он должен создать поле, противодействующее росту потока через контур. Для конкретного направления движения примените это к стрелкам на схеме.

Ответ: ε = Blv, I = Blv/R; направление задаётся правилом Ленца. Если скорость направлена вдоль поля или стержень не пересекает линии поля, формула с полным Blv неприменима — нужно учесть составляющую движения поперёк поля.

Задача 2. Катушка из N витков площадью S находится в однородном поле, перпендикулярном её плоскости. Индукция меняется по закону B(t) = B₀ + kt. Найти ЭДС. Здесь k — постоянная скорость изменения индукции, а площадь и ориентация катушки неизменны.

1. Поскольку поле направлено вдоль нормали, α = 0 и поток через один виток равен Φ = BS.
2. Потокосцепление катушки равно NBS, поэтому ε = −N d(BS)/dt = −NSk.
3. Модуль ЭДС равен NS|k|. Знак минус показывает направление относительно выбранной нормали и обхода контура; по правилу Ленца ток противодействует изменению поля.

Ответ: ε = −NSk. Если поле наклонено, нужно домножить поток и ЭДС на cos α; если поле постоянно, k = 0 и ЭДС равна нулю.

Задача 3. Катушку индуктивности L и сопротивление R подключают к источнику постоянного напряжения U. Найти, как меняется ток, и проверить связь с энергией поля. Считаем параметры постоянными, а ток до включения равным нулю.

1. ЭДС самоиндукции препятствует быстрому росту тока: εₛ = −L dI/dt. По второму закону Кирхгофа U = IR + L dI/dt.
2. Решение этого уравнения при I(0) = 0: I(t) = (U/R)(1 − e^(−tR/L)). Ток растёт от нуля к установившемуся значению U/R, а не возникает сразу.
3. Энергия магнитного поля равна W = LI²/2. Она увеличивается по мере роста тока; энергия поступает от источника, а часть рассеивается на сопротивлении.

Ответ: I(t) = (U/R)(1 − e^(−tR/L)); в установившемся режиме I = U/R, W = LI²/2. Проверка согласуется с тем, что при постоянном токе dI/dt = 0 и ЭДС самоиндукции исчезает.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить изменение магнитной индукции вместо изменения потока. Поток зависит также от площади и угла, а для катушки — от числа витков; это упускают, когда используют одну формулу механически. Проверьте, записан ли сначала Φ = BS cos α и учтены ли все меняющиеся величины.

Вторая ошибка — определить ток только правилом правой руки. Это правило может помочь установить направление поля или векторного произведения, но не заменяет правило Ленца, которое учитывает, растёт поток или убывает. Для самопроверки сформулируйте словами, какое изменение должен затруднять индукционный ток.

Третья ошибка — сразу применить закон Ома. Он не объясняет происхождение ЭДС, поэтому без её предварительного нахождения решение теряет физический смысл. Сначала укажите причину появления ЭДС и найдите её, затем рассчитывайте ток в цепи.

Четвёртая ошибка — потерять знак, единицы или размерность при вычислении производной. Так бывает, если не учесть направление отсчёта или забыть, что производная по времени делит величину на секунды. Проверьте вольты для ЭДС, амперы для тока и предельный случай: при неизменном потоке ЭДС должна быть нулевой.

Связь с другими темами

Для решения нужны представления о магнитном поле, магнитной индукции, силе Лоренца и законе Ома, а также умение работать с векторами. Правило Ленца связано с законом сохранения энергии: индукционный ток не может самопроизвольно поддерживать изменение, которое его вызвало. Электромагнитная индукция объясняет работу генератора и получение переменного тока. Те же приёмы применяют при изучении самоиндукции, трансформаторов, электромагнитных колебаний и энергии магнитного поля.

Что запомнить

• Сначала составляют физическую модель и делают поясняющий рисунок.
• Искомую величину связывают с изменением магнитного потока.
• Поток меняется при изменении магнитной индукции, площади контура или угла между полем и нормалью.
• Направление индукционного тока определяют по правилу Ленца.
• После нахождения ЭДС для замкнутой цепи используют закон Ома.
• Результат проверяют по размерности, знаку и физическому смыслу.