§ 4.10. Применение силы Лоренца. Циклический ускоритель

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле: F = |q|vB sin α. Здесь q — заряд частицы, v — её скорость, B — магнитная индукция, а α — угол между направлениями скорости и поля. По правилу левой руки определяют направление силы для положительного заряда, а для отрицательного оно противоположно.

Циклический ускоритель — установка, в которой заряженная частица много раз ускоряется электрическим полем. Магнитное поле при этом искривляет её траекторию и возвращает частицу к ускоряющему промежутку. Такое сочетание позволяет получать большие энергии на сравнительно небольшом расстоянии.

Циклотрон — разновидность циклического ускорителя с двумя D-образными электродами, помещёнными в однородное магнитное поле. Внутри электродов электрического поля почти нет, поэтому частица движется по дугам окружностей. Электрическое поле действует главным образом в зазоре между электродами.

Циклотронная частота — частота обращения частицы в магнитном поле: ν = |q|B/(2πm). В нерелятивистском приближении она не зависит от скорости частицы. Поэтому переменное ускоряющее поле можно настроить на одну постоянную частоту.

Как это устроено

Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. Работа силы определяется произведением силы на перемещение в её направлении, а при перпендикулярности это произведение равно нулю. Поэтому магнитное поле не изменяет кинетическую энергию и модуль скорости, а только поворачивает вектор скорости.

Рассмотрим движение при v ⟂ B. Сила Лоренца в этом случае равна |q|vB и играет роль центростремительной силы: |q|vB = mv²/r. После сокращения скорости получаем r = mv/(|q|B), то есть частица движется по окружности. Так как сила постоянна по модулю и всё время направлена к центру, движение является равномерным.

Период обращения можно найти как отношение длины окружности к скорости: T = 2πr/v. Подставляя радиус, получаем T = 2πm/(|q|B). Скорость сокращается, поэтому в нерелятивистском случае период и частота ν = 1/T = |q|B/(2πm) от неё не зависят.

Циклотрон состоит из двух полых D-образных электродов, находящихся в однородном магнитном поле. Частица движется внутри одного электрода по полуокружности, затем попадает в зазор, где на неё действует электрическое поле. После перехода в другой электрод она снова движется по полуокружности, но уже с большей энергией.

Направление электрического поля в зазоре должно переключаться с циклотронной частотой. Тогда к каждому пересечению зазора поле направлено вдоль движения положительного заряда и совершает положительную работу A = qEd на участке ускорения. Энергия и скорость частицы растут, поэтому по формуле r = mv/(|q|B) увеличивается и радиус орбиты. В обычной модели частота обращения остаётся прежней, хотя окружности становятся всё больше.

Движение заряженной частицы и работа циклического ускорителя

Таблица помогает выбрать формулу по условию задачи и понять, какая величина изменяется. Сначала определите угол между скоростью и магнитным полем, а затем проверьте, действует ли электрическое поле. Формулы периода и циклотронной частоты используют для нерелятивистского движения.

Разбор задач

1. Сила, действующая на электрон

Электрон движется перпендикулярно магнитному полю, поэтому α = 90°, а sin α = 1. Пусть скорость направлена вправо, а линии магнитного поля входят в ладонь. Нужно сначала определить направление силы для положительного заряда, а затем учесть знак электрона.

1. Модуль силы равен F = |q|vB sin 90° = evB, где e — элементарный заряд.
2. Для положительного заряда правило левой руки показывает направление силы.
3. Электрон имеет отрицательный заряд, поэтому сила направлена противоположно найденному направлению.

Ответ: F = evB; направление силы для электрона противоположно направлению, полученному правилом левой руки для положительного заряда.

2. Движение протона по окружности

Протон влетает перпендикулярно полю, поэтому магнитная сила полностью используется как центростремительная. Из условия известны B и v, а для протона q = e и масса равна mₚ. Требуется найти геометрический радиус орбиты и время одного оборота.

1. Приравниваем силы: evB = mₚv²/r.
2. Выражаем радиус: r = mₚv/(eB).
3. Период находим по формуле T = 2πmₚ/(eB), не подставляя скорость, потому что она сокращается.

Ответ: радиус протонной траектории r = mₚv/(eB), период обращения T = 2πmₚ/(eB).

3. Энергия и радиус в циклотроне

Пусть частица с массой m и зарядом q получила кинетическую энергию W в нерелятивистском режиме. Сначала нужно найти скорость, затем подставить её в формулу радиуса. Частоту переключения напряжения вычисляют отдельно, поскольку она не зависит от найденной скорости.

1. Из W = mv²/2 получаем v = √(2W/m).
2. Подставляем скорость в r = mv/(|q|B): r = √(2mW)/(|q|B).
3. Частота переключения равна циклотронной: ν = |q|B/(2πm).

Ответ: конечный радиус r = √(2mW)/(|q|B), частота переключения ν = |q|B/(2πm).

Типичные ошибки

1. Ошибка — считать, что магнитное поле выполняет работу. Её допускают, потому что траектория и направление скорости меняются, но сила перпендикулярна перемещению и работа равна нулю. Проверьте, изменился ли модуль скорости: без электрического поля он постоянен.

2. Нельзя всегда писать F = |q|vB. Эта запись верна только при α = 90°, а при другом угле нужен множитель sin α. Перед расчётом изобразите направления v и B.

3. Для электрона нельзя без изменений применять направление, найденное правилом левой руки. Правило сначала дают для положительного заряда, а для отрицательного силу нужно развернуть на 180°. Проверка — учесть знак q.

4. Ошибка — считать, что период всегда растёт вместе со скоростью. В нерелятивистской модели скорость сокращается в формуле периода; рост периода появляется при релятивистских скоростях. Уточните, указаны ли в задаче эффекты относительности.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны сила Ампера и правило левой руки, равномерное движение по окружности и центростремительная сила. Также понадобится связь кинетической энергии со скоростью: W = mv²/2.

Эти знания применяются при изучении ускорителей элементарных частиц и масс-спектрометров. Они помогают объяснить отклонение заряженных частиц в магнитных полях и некоторые процессы в плазме.

Что запомнить

• Сила Лоренца действует на движущийся заряд в магнитном поле.
• Магнитная сила перпендикулярна скорости и работы не совершает.
• При v ⟂ B частица движется по окружности радиусом r = mv/(|q|B).
• Период обращения T = 2πm/(|q|B) не зависит от скорости в нерелятивистском случае.
• В циклотроне магнитное поле искривляет траекторию, а электрическое поле ускоряет частицу.
• Частоту переменного ускоряющего поля выбирают равной циклотронной частоте частицы.
• Циклотрон имеет ограничения при больших скоростях из-за релятивистского увеличения массы.