§ 4.9. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся электрический заряд в магнитном поле. Её модуль равен F = |q|vB sin α, а векторная формула имеет вид F⃗ = q(v⃗ × B⃗). Эта сила нужна, чтобы находить, как магнитное поле изменяет движение частицы.

Угол α между скоростью заряда и магнитной индукцией — угол между векторами v⃗ и B⃗. Именно он определяет, какая часть скорости направлена поперёк поля и участвует в создании магнитной силы. Поэтому в формуле появляется sin α.

Правило левой руки помогает определить направление силы, действующей на положительный заряд. Если линии магнитной индукции входят в ладонь, а четыре пальца направлены по скорости положительного заряда, отогнутый большой палец показывает направление силы. Для отрицательного заряда результат нужно заменить на противоположный.

Траектория заряженной частицы в магнитном поле — линия, по которой движется частица. Её форма определяется тем, как направлены скорость и магнитная индукция: движение может быть прямолинейным, круговым или винтовым. Это позволяет заранее предсказать путь частицы.

Как это устроено

Движение электрических зарядов в проводнике образует электрический ток. На проводник с током магнитное поле действует силой Ампера, поэтому можно мысленно выделить в проводнике небольшой участок с отдельными движущимися зарядами. Сила, приходящаяся на один заряд, и называется силой Лоренца.

Модуль силы задаётся формулой F = |q|vB sin α. Заряд q и скорость v характеризуют саму частицу, B — действие магнитного поля, а множитель sin α учитывает взаимное направление движения и поля. Чем больше поперечная составляющая скорости, тем сильнее отклоняется заряд.

Вектор силы Лоренца перпендикулярен одновременно скорости заряда и магнитной индукции. Поэтому сила не направлена вдоль движения и не может непосредственно увеличить или уменьшить скорость. Для положительного заряда направление находят правилом левой руки, а знак отрицательного заряда разворачивает силу на 180°.

Если частица движется вдоль линий магнитной индукции, α = 0° или 180°, поэтому sin α = 0 и F = 0. При движении перпендикулярно полю α = 90°, sin α = 1, и сила достигает максимального значения F = |q|vB. Так формула связывает крайние случаи с геометрией движения.

Поскольку сила перпендикулярна скорости, её работа равна нулю: направление силы совпадает с направлением ускорения, а не перемещения. При поперечном движении сила всё время поворачивает скорость, и частица движется по окружности. Если одновременно есть составляющая скорости вдоль поля, она сохраняется, а круговое движение складывается с поступательным и образует винтовую траекторию.

Действие магнитного поля на движущийся заряд

В таблице сначала определите угол α, затем используйте формулу F = |q|vB sin α. Последняя строка напоминает, что знак заряда не меняет модуль силы, но меняет её направление. Характер движения определяется тем, какие составляющие скорости действуют поперёк и вдоль поля.

Разбор задач

1. Нахождение модуля силы

Заряд движется перпендикулярно однородному магнитному полю. Пусть |q| = 2 · 10⁻⁶ Кл, v = 3 · 10⁵ м/с, B = 0,4 Тл. Требуется найти модуль силы Лоренца.

1. Записываем общую формулу: F = |q|vB sin α.
2. Так как движение перпендикулярно полю, α = 90° и sin α = 1.
3. Подставляем данные: F = 2 · 10⁻⁶ · 3 · 10⁵ · 0,4 = 0,24 Н.

Ответ: F = 0,24 Н. Знак заряда здесь не нужен, потому что требуется только модуль силы.

2. Определение направления силы

Положительный заряд движется вправо, а магнитная индукция направлена от наблюдателя вглубь страницы. Нужно определить направление силы и сравнить его с направлением для отрицательного заряда. Величины скорости и поля для этого вопроса не требуются.

1. Помещаем левую ладонь так, чтобы линии магнитной индукции входили в неё.
2. Четыре пальца направляем вправо, по скорости положительного заряда.
3. Отогнутый большой палец показывает направление силы для положительного заряда; для отрицательного заряда направление разворачивается на противоположное.

Ответ: направление определяют правилом левой руки, а для отрицательной частицы берут обратное направление. При решении пространственных задач полезно отдельно проверить направление поля и направление движения.

3. Радиус траектории

Частица массой m = 4 · 10⁻²⁷ кг и зарядом |q| = 2 · 10⁻¹⁹ Кл влетает перпендикулярно в поле B = 0,5 Тл со скоростью v = 10⁶ м/с. Нужно найти радиус окружности. Движение считается происходящим в однородном поле.

1. При α = 90° сила Лоренца максимальна: F = |q|vB.
2. Она играет роль центростремительной силы: |q|vB = mv²/r.
3. Выражаем радиус: r = mv/(|q|B), затем подставляем значения: r = (4 · 10⁻²⁷ · 10⁶)/(2 · 10⁻¹⁹ · 0,5) = 0,04 м.

Ответ: радиус траектории равен 4 см. Чем больше масса и скорость частицы, тем больше радиус; увеличение заряда или магнитной индукции, наоборот, делает окружность меньше.

Типичные ошибки

Косинус вместо синуса. Так ошибаются, перенося формулы для проекций или других физических сил. Проверьте, что α — угол именно между v и B: при α = 0° сила должна быть нулевой, а при 90° — максимальной.

Одинаковое направление для разных знаков заряда. Модуль силы действительно не зависит от знака q, но векторная формула содержит сам заряд. Сначала определите направление для положительной частицы, затем для отрицательной поменяйте его на противоположное.

Сила направлена вдоль скорости. Такое представление приводит к выводу, что магнитное поле разгоняет заряд. Проверьте себя по векторному произведению: сила Лоренца перпендикулярна скорости и искривляет траекторию.

Магнитное поле изменяет кинетическую энергию. Ошибка возникает из-за того, что частица действительно получает ускорение. Но это ускорение направлено поперёк скорости, работа силы равна нулю, поэтому модуль скорости и кинетическая энергия в идеальном случае не меняются.

Связь с другими темами

Для понимания силы Лоренца нужны вектор магнитной индукции, сила Ампера и правило левой руки для проводника с током. Сила на отдельный заряд связывает действие поля на ток с движением микроскопических носителей заряда.

Тема используется при изучении движения заряженных частиц, устройства циклотрона и работы приборов, где магнитное поле управляет пучками частиц. Формула радиуса помогает объяснить разделение и регистрацию частиц по их массе, заряду и скорости.

Что запомнить

• Модуль силы Лоренца равен F = |q|vB sin α.
• Сила действует только на движущийся заряд.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и магнитной индукции.
• Для отрицательного заряда направление силы противоположно направлению, определённому для положительного.
• При движении вдоль магнитного поля магнитная сила равна нулю.
• Магнитная сила не совершает работы и не изменяет модуль скорости.
• При движении поперёк однородного поля заряженная частица движется по окружности.