§ 6. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущийся электрический заряд. Её модуль вычисляют по формуле F = |q|vB sin α, где |q| — модуль заряда, v — скорость частицы, B — магнитная индукция, α — угол между скоростью и полем. Формула позволяет узнать, насколько сильно поле отклонит частицу.

Угол α — угол между векторами скорости заряда и магнитной индукции. Он важен потому, что магнитное поле действует на составляющую скорости, направленную поперёк поля. Множитель sin α учитывает эту составляющую: при движении вдоль поля он равен нулю, а при движении поперёк поля — единице.

Правило левой руки помогает определить направление силы для положительного заряда: расположите ладонь так, чтобы линии магнитной индукции входили в неё, а четыре пальца указывали направление скорости; отогнутый большой палец покажет направление силы. Для отрицательного заряда силу нужно направить противоположно. Это правило связывает направление движения, поля и действующей силы.

Радиус траектории заряженной частицы — радиус окружности, по которой частица движется, если её скорость перпендикулярна магнитному полю. Радиус равен r = mv/(|q|B), где m — масса частицы. Формула показывает, что более быстрая или тяжёлая частица движется по окружности большего радиуса, а усиление поля или увеличение заряда уменьшает радиус.

Как это устроено

Величина силы определяется тем, насколько большой заряд движется и насколько сильное поле его окружает. При увеличении |q|, v или B сила возрастает пропорционально соответствующей величине. Однако значение имеет не вся скорость: магнитное действие связано с её составляющей поперёк поля, поэтому в формулу входит sin α. Неподвижный заряд магнитная сила не отклоняет.

Направление силы зависит от взаимного расположения скорости и магнитной индукции. Для положительного заряда его находят правилом левой руки: линии поля входят в ладонь, четыре пальца направлены по скорости, а большой палец указывает силу. Знак заряда определяет, в какую сторону частица реагирует на это сочетание направлений. Поэтому у отрицательного заряда сила направлена противоположно результату для положительного.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. Работа силы определяется её составляющей вдоль перемещения, а такой составляющей здесь нет, поэтому магнитное поле не передаёт частице энергию и не меняет модуль скорости. Зато направление скорости меняется: это и приводит к искривлению траектории. Следовательно, поле может изменить направление движения, сохраняя кинетическую энергию.

Когда скорость направлена вдоль магнитного поля, угол α равен 0° или 180°, и sin α = 0. Сила тогда отсутствует, поэтому в однородном поле частица продолжает двигаться прямо. Если же скорость перпендикулярна полю, сила максимальна и всё время направлена поперёк скорости. Она играет роль центростремительной силы, удерживая частицу на окружности.

При наклонном движении скорость удобно разделить на две составляющие: параллельную и перпендикулярную магнитному полю. Магнитная сила не меняет движение вдоль поля, но заставляет поперечную составляющую вращаться по окружности. Одновременное поступательное движение вдоль поля и вращение вокруг него дают винтовую траекторию. Поэтому окружность — лишь частный случай движения заряда в магнитном поле.

Действие магнитного поля на движущийся заряд

В таблице собраны четыре характерные ситуации. Сравнивайте направление скорости с полем, затем находите силу по углу α и определяйте, какое движение она вызывает. В последней строке учитывается не траектория, а знак заряда, от которого зависит направление силы.

Разбор задач

Задача 1. Положительный заряд движется перпендикулярно линиям магнитной индукции. Нужно определить направление силы, если заданы направления скорости и поля. Числовой расчёт не требуется: здесь важно правильно соотнести три направления. Так как заряд положительный, результат правила левой руки менять не нужно.

1. Представьте ладонь левой руки так, чтобы линии магнитной индукции входили в неё. Это задаёт положение относительно поля.
2. Направьте четыре пальца по скорости положительного заряда. Условие о перпендикулярности означает, что направление поля и скорость взаимно перпендикулярны.
3. Отогните большой палец: он укажет направление силы Лоренца. Если направления скорости и поля заданы словами, выполните те же действия, не меняя их ориентации.

Ответ: сила направлена по отогнутому большому пальцу левой руки. Без конкретных направлений скорости и линий поля указать её как «вверх», «вниз» или иначе нельзя. Для отрицательного заряда итоговое направление пришлось бы обратить.

Задача 2. Заряд q движется со скоростью v в однородном поле магнитной индукции B под углом α. Требуется найти модуль силы Лоренца. Даны все величины, необходимые для подстановки, но числовые значения не заданы. Поэтому ответ запишем через обозначения из условия.

1. Сопоставьте угол α с углом между векторами скорости и магнитной индукции, а не с каким-либо другим направлением.
2. Выберите формулу для модуля силы: F = |q|vB sin α. Модуль заряда нужен потому, что знак влияет на направление силы, но не на её величину.
3. Подставьте значения q, v, B и α, если они заданы, и вычислите произведение. Убедитесь, что угол указан в подходящих для вычисления единицах.

Ответ: F = |q|vB sin α. При α = 90° получается наибольшая сила, а при α = 0° она равна нулю.

Задача 3. Частица массы m и заряда q влетает перпендикулярно однородному магнитному полю. Нужно найти радиус траектории и период обращения. Поскольку скорость поперечна полю, сила Лоренца всё время перпендикулярна скорости и служит центростремительной силой. Обозначим скорость частицы через v.

1. Приравняйте модуль силы Лоренца центростремительной силе: |q|vB = mv²/r. Здесь используется sin 90° = 1.
2. Выразите радиус: r = mv/(|q|B). Подставьте данные задачи, сохраняя единицы величин.
3. Период обращения равен времени одного полного круга: T = 2πr/v. Подстановка найденного выражения для радиуса даёт T = 2πm/(|q|B).

Ответ: радиус r = mv/(|q|B), период T = 2πm/(|q|B). Период не зависит от скорости частицы, если масса и магнитная индукция постоянны.

Типичные ошибки

Подставляют в формулу только модуль скорости и забывают множитель sin α. Так происходит, если формулу запоминают без связи с направлением движения. Проверьте себя крайними случаями: при движении вдоль поля сила должна быть нулевой, а при движении поперёк — максимальной.

Для отрицательного заряда применяют правило левой руки так же, как для положительного, и получают неверное направление. Правило в указанной форме сначала задаёт силу для положительного заряда; знак заряда легко упустить, если сосредоточиться только на векторах. После определения направления для положительного заряда обязательно проверьте знак и для отрицательного разверните результат.

Считают, что магнитное поле увеличивает или уменьшает кинетическую энергию частицы. Путаница возникает потому, что траектория искривляется и движение выглядит изменённым. Проверьте, куда направлена сила относительно скорости: если они перпендикулярны, сила не совершает работы и не меняет модуль скорости.

Полагают, что любая частица в магнитном поле движется по окружности. Это верно только при скорости, перпендикулярной полю; при наклонном влёте остаётся движение вдоль поля, и траектория становится винтовой. Перед выбором траектории разделите скорость на составляющие вдоль поля и поперёк него.

Связь с другими темами

Для работы с силой Лоренца нужны понятия магнитной индукции, скорости и силы, а также умение обращаться с векторами. Правило левой руки помогает установить направление векторного действия поля; модуль силы затем находят по формуле с синусом угла. Идея о перпендикулярности силы и скорости связывает тему с движением по окружности и центростремительным ускорением.

Движение заряженных частиц в магнитном поле используют в масс-спектрометрах, где по отклонению разделяют частицы с разными отношением заряда к массе. В ускорителях магнитные поля помогают управлять траекториями частиц. Поэтому формулы силы и радиуса применяются не только в задачах, но и при объяснении работы приборов.

Что запомнить

• Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
• Модуль силы Лоренца равен |q|vB sin α.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и магнитной индукции.
• Для отрицательного заряда направление силы противоположно направлению для положительного.
• Магнитная сила не изменяет модуль скорости частицы.
• При скорости, перпендикулярной полю, частица движется по окружности радиуса mv/(|q|B).