Упражнение 8

Определения и обозначения

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с массой молекулы, концентрацией и движением частиц: p = ⅓mn⟨v²⟩. Оно нужно, чтобы по микроскопическим характеристикам газа находить его давление.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V. Буква N обозначает число частиц, а V — объём газа. Чем больше n, тем чаще молекулы ударяют по стенкам при прочих равных условиях.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы — среднее значение энергии, связанной с перемещением молекулы из-за её скорости. Она равна ⟨Eк⟩ = ½m⟨v²⟩. Эта величина позволяет выразить давление через энергию движения частиц.

Средняя квадратичная скорость равна корню из среднего квадрата скорости: vкв = √⟨v²⟩. В расчётах используют именно ⟨v²⟩, потому что при хаотическом движении направления скоростей взаимно компенсируются, а энергия зависит от квадрата скорости.

Как это устроено

Газ оказывает давление не потому, что молекулы покоятся, а потому, что они непрерывно сталкиваются со стенками сосуда. Каждая частица при ударе меняет направление движения и передаёт стенке часть своего импульса. Множество таких ударов за короткое время создаёт заметное суммарное воздействие.

Импульс тела равен произведению его массы на скорость. Если до удара импульс молекулы направлен к стенке, а после удара направлен от неё, изменение импульса по модулю оказывается значительным. Сила связана с изменением импульса за время: F = Δp/Δt, а давление определяется отношением силы к площади: p = F/S.

Концентрация появляется в формуле потому, что она показывает, сколько частиц находится в каждом кубическом метре газа. При увеличении числа молекул в том же объёме возрастает число столкновений со стенкой за единицу времени. Поэтому при неизменной энергии движения давление прямо пропорционально n.

Давление зависит и от средней кинетической энергии молекул. Более быстрые частицы чаще сталкиваются со стенкой и сильнее меняют свой импульс при ударах. Поэтому при одинаковой концентрации рост ⟨Eк⟩ приводит к росту давления.

Для газа с хаотическим движением направления равноправны, поэтому в давление входит одна треть среднего квадрата полной скорости. Так получается форма p = ⅓mn⟨v²⟩. Если заменить ½m⟨v²⟩ средней энергией, получим равносильную запись p = ⅔n⟨Eк⟩; выбирают ту форму, для которой больше данных уже есть в условии.

Величины и формулы основного уравнения МКТ

Сначала определите, какие величины известны в условии. Если указаны m и ⟨v²⟩, используйте первую форму уравнения, а при известной энергии — вторую. После выбора формулы проверьте единицы и только затем подставляйте числа.

Величины в таблице относятся к одной молекуле, кроме концентрации, которая характеризует весь объём газа. Средний квадрат скорости не следует заменять квадратом средней скорости. Для нахождения самой средней квадратичной скорости после вычислений нужно извлечь квадратный корень.

Разбор задач

Задача 1. В сосуде n = 3·10²⁵ м⁻³ молекул, их масса m = 4,0·10⁻²⁶ кг, а ⟨v²⟩ = 4,0·10⁵ м²/с². Найдём давление газа. Все данные уже записаны в единицах СИ.

1. Запишем основное уравнение: p = ⅓mn⟨v²⟩.
2. Подставим значения: p = ⅓ · 4,0·10⁻²⁶ · 3·10²⁵ · 4,0·10⁵.
3. Сначала перемножим m и n, затем учтём остальные множители: p = 1,6·10⁵ Па.

Ответ: давление газа равно 1,6·10⁵ Па. Такой порядок действий уменьшает риск ошибки со степенями десяти. Результат имеет единицу паскаля, поэтому размерность согласована.

Задача 2. Известны p = 1,0·10⁵ Па, n = 2,5·10²⁵ м⁻³ и m = 4,0·10⁻²⁶ кг. Требуется найти среднюю квадратичную скорость молекул. Удобнее сначала определить ⟨v²⟩, а затем извлечь корень.

1. Выразим средний квадрат скорости: ⟨v²⟩ = 3p/(mn).
2. Подставим данные: ⟨v²⟩ = 3·10⁵/(4,0·10⁻²⁶ · 2,5·10²⁵) = 3,0·10⁵ м²/с².
3. Найдём скорость: vкв = √(3,0·10⁵) ≈ 5,5·10² м/с.

Ответ: средняя квадратичная скорость примерно равна 5,5·10² м/с. Квадратный корень обязателен, поскольку после преобразования найдена величина v². Её единица м²/с² превращается в м/с.

Задача 3. Пусть давление газа p = 1,2·10⁵ Па, а средняя кинетическая энергия молекулы ⟨Eк⟩ = 4,0·10⁻²¹ Дж. Объём сосуда равен V = 0,020 м³. Нужно найти концентрацию, а затем число молекул.

1. Используем форму p = ⅔n⟨Eк⟩ и выразим концентрацию: n = 3p/(2⟨Eк⟩).
2. Подставим данные: n = 3·1,2·10⁵/(2 · 4,0·10⁻²¹) = 4,5·10²⁵ м⁻³.
3. Из определения концентрации N = nV. Поэтому N = 4,5·10²⁵ · 0,020 = 9,0·10²³.

Ответ: концентрация равна 4,5·10²⁵ м⁻³, а число молекул — 9,0·10²³. В последнем действии используется именно объём в кубических метрах. Полученный результат N безразмерен, поскольку это обычное число частиц.

Типичные ошибки

Подстановка средней скорости вместо средней квадратичной — распространённая ошибка. Средняя скорость при хаотическом движении может быть близка к нулю, тогда как средний квадрат скорости положителен. Проверяйте запись формулы: должно стоять ⟨v²⟩, а не ⟨v⟩².

Концентрацию иногда путают с количеством вещества. Концентрация n показывает число молекул в единице объёма, а количество вещества измеряется в молях. Самопроверка проста: единицей n должна быть м⁻³.

Нельзя подставлять массу молекулы в граммах или объём в литрах, если остальные данные заданы в СИ. Такие единицы нарушают размерность результата. Перед вычислением выпишите отдельно: m в кг, V в м³, скорость в м/с.

При переходе к форме через энергию часто теряют множитель 2 или 3. Нужно помнить, что ⟨Eк⟩ = ½m⟨v²⟩, поэтому p = ⅓mn⟨v²⟩ превращается в p = ⅔n⟨Eк⟩. Полезно выполнить обратную замену и проверить исходную формулу.

Связь с другими темами

Для понимания основного уравнения нужны представления о молекулярном строении вещества, хаотическом тепловом движении и давлении газа. Эти знания объясняют, почему невидимые частицы могут создавать измеримую силу на стенках сосуда. Без них формула остаётся набором символов.

Уравнение МКТ связывает микроскопическое движение молекул с макроскопическим давлением. Оно пригодится при объяснении температуры как меры средней кинетической энергии частиц и при изучении уравнения состояния идеального газа. Поэтому умение преобразовывать его формулы важно для следующих задач.

Что запомнить

• Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
• Чем больше концентрация молекул, тем больше давление при прочих равных условиях.
• При прочих равных условиях давление растёт с увеличением средней кинетической энергии молекул.
• В расчётах важно различать среднюю скорость и среднюю квадратичную скорость.
• Перед подстановкой величин следует привести их к единицам СИ.