§ 9.5. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Уравнение состояния идеального газа связывает давление p, объём V, абсолютную температуру T и количество вещества ν: pV = νRT. Здесь R — универсальная газовая постоянная, а температуру обязательно выражают в кельвинах. Уравнение помогает найти недостающий параметр состояния или связать начальное и конечное состояния газа.

Первый закон термодинамики записывают как Q = ΔU + A, если A — работа, совершённая газом. Количество теплоты Q идёт на изменение внутренней энергии ΔU и на работу газа. Эта запись особенно удобна в задачах, где нужно определить, куда расходуется энергия при нагревании или расширении.

Работа газа при изменении объёма равна A = ∫p dV, а на диаграмме p–V соответствует площади под графиком процесса. При расширении работа положительна, при сжатии — отрицательна; при постоянном объёме она равна нулю. Площадь позволяет найти работу и тогда, когда давление меняется, если известен график.

Тепловой баланс — это равенство, выражающее сохранение энергии при теплообмене: сколько теплоты одни тела отдают, столько другие получают, если потерями пренебречь. Для каждого тела учитывают знак теплоты или отдельно записывают отданное и полученное количества. Такой подход нужен, когда в задаче обмениваются энергией несколько частей системы.

Как это устроено

Сначала выделите из условия известные величины, искомое и описание процесса. Запишите начальные и конечные параметры газа, а также то, что остаётся постоянным: давление, объём или температуру. Это нужно, потому что одинаковые слова «газ нагрели» ещё не задают способ нагревания и не определяют работу.

Выбор формулы зависит от характера процесса: при изохорном объём постоянен, при изобарном постоянно давление, при изотермическом — температура, а при адиабатном теплообмен отсутствует. Эти условия упрощают общие формулы: например, A = 0 при неизменном объёме, а Q = 0 при адиабатном процессе. Если условие не определено, нельзя заранее отбрасывать слагаемые первого закона.

Изменение внутренней энергии идеального газа определяется изменением температуры, а не тем, каким путём газ пришёл в конечное состояние. Для газа с ν молями ΔU = νCvΔT; если дана масса, используют ν = m/M. Теплоёмкость Cv зависит от состава газа и числа степеней свободы: чем больше способов движения молекул учитывается, тем больше энергии требуется для такого же изменения температуры.

Решение удобно строить последовательно: уравнение состояния связывает p, V и T, формула работы описывает механическое взаимодействие, а первый закон соединяет работу, теплоту и внутреннюю энергию. Найдите недостающие параметры состояния, затем вычислите A и ΔU и только после этого — Q. Такой порядок помогает не подменить неизвестное величиной, которую можно определить лишь из другого соотношения.

В конце проверьте единицы: работа, энергия и теплота должны получиться в джоулях, а давление и объём — в согласованных единицах. Сверьте знак работы с направлением изменения объёма и знак теплоты с тем, получает или отдаёт энергию газ. Наконец, оцените ответ физически: например, при изохорном нагревании положительная теплота должна сопровождаться ростом внутренней энергии.

Основные термодинамические процессы и используемые формулы

Сначала найдите строку с условием, которое совпадает с описанием задачи, и используйте формулы этой строки вместе с первым законом. В изотермической строке логарифм натуральный, а формула работы применима к идеальному газу при постоянной температуре. В других процессах знак ΔV или ΔT подскажет знак соответствующей величины.

Разбор задач

Нагревание газа при постоянном объёме

Газ массой m нагревают от T₁ до T₂, известны молярная масса M и молярная теплоёмкость Cv. Требуется найти изменение внутренней энергии и полученную теплоту. Поскольку объём не меняется, газ не перемещает границу и не совершает работу.

1. Определяем количество вещества: ν = m/M.
2. Находим изменение внутренней энергии: ΔU = νCv(T₂ − T₁) = (m/M)Cv(T₂ − T₁).
3. При V = const работа A = 0, поэтому из первого закона Q = ΔU. Если T₂ больше T₁, оба значения положительны.

Ответ: ΔU = (m/M)Cv(T₂ − T₁), Q = (m/M)Cv(T₂ − T₁). Равенство теплоты и изменения внутренней энергии получается не всегда, а именно из нулевой работы газа.

Изобарное расширение

Идеальный газ расширяется при постоянном давлении p; известны начальные и конечные объёмы и температуры. Нужно определить работу, изменение внутренней энергии и теплоту. Если количество вещества напрямую не задано, его можно найти по начальному состоянию из ν = pV₁/(RT₁).

1. Проверяем, что обе температуры заданы в кельвинах, и при необходимости находим ν из уравнения состояния.
2. Работа газа при постоянном давлении: A = p(V₂ − V₁). При расширении V₂ > V₁, следовательно, A положительна.
3. Вычисляем ΔU = νCv(T₂ − T₁), затем применяем первый закон: Q = ΔU + A.

Ответ: A = p(V₂ − V₁), ΔU = νCv(T₂ − T₁), Q = νCv(T₂ − T₁) + p(V₂ − V₁). Если параметры согласованы уравнением состояния, изменение объёма и температуры должны соответствовать друг другу при постоянном давлении.

Цикл из изохорных и изобарных участков

Газ проходит замкнутый цикл из участков с постоянным объёмом и постоянным давлением. По давлениям и объёмам нужно найти работу за цикл и КПД двигателя. В цикле газ возвращается в исходное состояние, поэтому общая перемена его внутренней энергии равна нулю.

1. Для каждого изохорного участка записываем Aᵢ = 0; для изобарного — Aᵢ = pᵢ(Vкон − Vнач).
2. Складываем работы с их знаками: Aцикла = ΣAᵢ. На графике p–V это ориентированная площадь, заключённая циклом.
3. На каждом участке определяем ΔUᵢ и Qᵢ = ΔUᵢ + Aᵢ. Складываем только положительные количества теплоты, полученные газом, чтобы найти Qполуч.
4. Находим КПД: η = Aцикла/Qполуч × 100%. Проверяем, что цикл действительно работает как двигатель: работа за цикл положительна.

Ответ: Aцикла равна алгебраической сумме работ участков, а η = Aцикла/Qполуч × 100%. Для замкнутого цикла сумма всех теплот равна работе за цикл, но в знаменатель КПД входит именно полученная, а не вся теплота по модулю.

Типичные ошибки

• Подстановка градусов Цельсия вместо кельвинов искажает газовые соотношения, потому что в них используется абсолютная температура. Ошибку допускают, когда забывают, что ноль шкалы Цельсия не означает отсутствие теплового движения. Проверьте единицы и переведите температуру по формуле T = t + 273,15.

• Ненулевая работа при постоянном объёме или положительная работа при сжатии противоречат формуле работы газа. Часто знак теряют, ориентируясь только на модуль изменения объёма. Проверьте направление процесса: при ΔV = 0 работа нулевая, при ΔV < 0 работа отрицательная.

• Формула для теплоёмкости одного процесса не подходит автоматически другому: например, теплоёмкость при постоянном давлении нельзя применять вместо Cv при расчёте ΔU. Путаница возникает потому, что обе величины связывают тепло и изменение температуры, но условия их определения различаются. Сверьте условие задачи и используйте для внутренней энергии идеального газа ΔU = νCvΔT.

• В цикле нельзя складывать модули работ и теплот: так теряется информация о расширении, сжатии, нагревании и охлаждении. Это обычно происходит при расчёте отдельных участков без фиксации знаков. Составьте таблицу участков и проверьте, что сумма ΔU за цикл равна нулю, а работа двигателя получается положительной.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны уравнение состояния идеального газа, понятие внутренней энергии, работа газа и первый закон термодинамики: каждый из этих инструментов описывает часть энергетического процесса. Их совместное применение позволяет перейти от параметров состояния к теплоте и работе. Графики процессов на диаграмме p–V помогают увидеть работу как площадь и проследить направление изменения объёма.

Эти расчёты подготавливают к изучению тепловых двигателей и холодильных машин. Работа за цикл и полученная теплота нужны для определения КПД, а знаки величин помогают отличить двигатель от устройства, которое переносит тепло за счёт внешней работы. Те же принципы используют при анализе реальных циклов, хотя реальные процессы могут быть сложнее идеализированных.

Что запомнить

• Любую задачу начинайте с записи известных величин и определения характера процесса.
• Температуру в газовых законах выражайте только в кельвинах.
• При постоянном объёме работа газа равна нулю.
• Первый закон термодинамики связывает количество теплоты, изменение внутренней энергии и работу газа: Q = ΔU + A.
• Работа газа на диаграмме p–V определяется площадью под графиком процесса.
• В циклическом процессе изменение внутренней энергии газа за цикл равно нулю.
• Проверяйте ответ по единицам, знакам и физическому смыслу.