§ 9.4. Учет и использование теплового расширения тел в технике

Определения и обозначения

Линейное тепловое расширение — изменение длины тела при изменении температуры. Для небольших изменений температуры оно описывается формулой Δl = αl₀ΔT, где Δl — изменение длины, l₀ — начальная длина, а ΔT — изменение температуры. Эта зависимость позволяет заранее рассчитать, насколько удлинится деталь.

Коэффициент линейного расширения — α — показывает, на какую долю начальной длины изменится тело при нагревании на один градус. Его единица измерения — °C⁻¹ или K⁻¹. Значение α зависит от материала и помогает сравнивать склонность разных веществ к расширению.

Тепловой зазор — промежуток, оставленный между деталями для их свободного расширения при нагревании. Если зазора нет, соприкасающиеся детали могут начать давить друг на друга. Поэтому его размер выбирают с учётом возможного изменения длины.

Компенсатор теплового расширения — конструктивный элемент, который позволяет детали менять размеры или форму без опасного напряжения. Он может изгибаться, сжиматься или перемещаться вместе с трубой. Так компенсатор защищает сооружение или устройство от деформации и повреждений.

Как это устроено

Нагревание усиливает тепловое движение частиц вещества. Частицы сильнее колеблются около положений равновесия, а из-за несимметрии сил взаимодействия их среднее расстояние обычно увеличивается. Поэтому тело расширяется, а при охлаждении среднее расстояние чаще всего уменьшается и тело сжимается.

Удлинение зависит от исходной длины: при одинаковом нагревании длинный стержень изменит размер сильнее короткого. Оно также пропорционально изменению температуры и коэффициенту α, который характеризует материал. Поэтому формула Δl = αl₀ΔT применима для небольших температурных интервалов, когда коэффициент можно считать постоянным.

При объёмном расширении твёрдое тело увеличивается не только в длину, но и в ширину и высоту. Для изотропного материала, свойства которого одинаковы по всем направлениям, коэффициент объёмного расширения β при небольших изменениях температуры приблизительно равен 3α. Жидкости тоже расширяются в объёме, но их обычно рассматривают без выделения линейного расширения, поскольку они не сохраняют форму.

В мостах и рельсовых путях оставляют зазоры, используют подвижные опоры и специальные соединения. При нагревании элементы получают возможность перемещаться, а не изгибаться под действием внутренних сил. В трубопроводах применяют компенсаторы, которые принимают на себя изменение длины трубы и уменьшают нагрузку на крепления.

Расширение можно не только предотвращать, но и использовать. Биметаллическая пластина состоит из двух прочно соединённых слоёв с разными коэффициентами α. При нагревании один слой удлиняется сильнее другого, поэтому пластина изгибается; это движение применяют для переключения контактов в термостатах и защитных устройствах.

Тепловое расширение тел и его учёт в технике

Сначала определите, изменяется ли преимущественно длина или объём тела. Затем найдите причину расширения и выберите способ учёта: расчёт, зазор, подвижное крепление или компенсатор. Для биметаллического устройства нужно обратить внимание не на величину одного расширения, а на различие свойств двух слоёв.

Разбор задач

Задача 1

Стальной стержень длиной 2,0 м нагрели на 50 °C. Коэффициент линейного расширения стали равен 12·10⁻⁶ °C⁻¹. Требуется найти удлинение стержня.

1. Используем формулу Δl = αl₀ΔT, потому что известны материал, начальная длина и изменение температуры.
2. Подставляем значения: Δl = 12·10⁻⁶ · 2,0 · 50 м = 0,0012 м.
3. Переводим результат: 0,0012 м = 1,2 мм.

Ответ: стержень удлинится на 1,2 мм. Температуру 50 °C здесь используют именно как изменение температуры, а не как конечное значение.

Задача 2

Рельс длиной 12 м при укладке нагревается от 10 °C до 40 °C. Коэффициент расширения равен 12·10⁻⁶ °C⁻¹. Найдём зазор, который компенсирует удлинение одного рельса.

1. Определяем изменение температуры: ΔT = 40 °C − 10 °C = 30 °C.
2. Рассчитываем удлинение: Δl = 12·10⁻⁶ · 12 · 30 м = 0,00432 м.
3. Переводим в миллиметры: 0,00432 м = 4,32 мм. Такой величины должен быть как минимум зазор для компенсации расширения одного рельса, если соседние элементы не учитываются.

Ответ: необходимый зазор составляет примерно 4,3 мм. На практике величину уточняют с учётом конструкции пути и диапазона температур.

Задача 3

Стальная труба длиной 20 м закреплена так, что при нагревании на 60 °C не может удлиниться. Дано: E = 2,0·10¹¹ Па и α = 12·10⁻⁶ °C⁻¹. Нужно оценить напряжение, возникающее при жёстком закреплении.

1. Свободная тепловая деформация была бы равна αΔT = 12·10⁻⁶ · 60 = 7,2·10⁻⁴.
2. При полном запрете удлинения такую же по модулю деформацию создаёт упругая деформация: σ/E = αΔT.
3. Отсюда σ = EαΔT = 2,0·10¹¹ · 7,2·10⁻⁴ Па = 1,44·10⁸ Па.

Ответ: напряжение приблизительно равно 1,44·10⁸ Па, или 144 МПа. Такое напряжение может быть опасным, поэтому длинные трубы снабжают компенсаторами и не закрепляют полностью жёстко.

Типичные ошибки

Считать, что расширение определяется только изменением температуры, — ошибка. При одинаковом нагревании длинное тело удлинится сильнее короткого, а разные материалы расширяются неодинаково. Проверяйте, учтены ли в решении l₀ и α, а не только ΔT.

Иногда в формулу подставляют температуру нагретого тела, например 40 °C, вместо её изменения. Нужно вычислить разность конечной и начальной температур: ΔT = T₂ − T₁. Самопроверка проста: если начальная температура не указана, в условии уже должно быть дано именно изменение температуры.

Коэффициент линейного расширения α не равен коэффициенту объёмного расширения β. Для изотропного твёрдого тела при небольших изменениях температуры β приблизительно равно 3α. Перед расчётом определите, ищете вы изменение длины или объёма.

Зазор или компенсатор не уничтожает тепловое расширение. Они только дают детали возможность изменить размер без разрушения и чрезмерных напряжений. Проверьте себя вопросом: куда переместится деталь при нагревании и предусмотрено ли для этого свободное пространство?

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны представления о температуре, тепловом равновесии и тепловом движении частиц. Именно изменение движения частиц объясняет, почему размеры тела зависят от температуры.

В задачах используются пропорции, единицы измерения и формулы деформации. При жёстком закреплении тепловое расширение связывают с упругой деформацией и модулем Юнга.

Знания пригодятся при изучении внутренних напряжений, свойств материалов и тепловых машин. Они также важны для проектирования мостов, трубопроводов, приборов и других инженерных конструкций.

Что запомнить

• При нагревании большинство тел расширяется, при охлаждении — сжимается.
• Линейное удлинение определяется формулой Δl = αl₀ΔT.
• Коэффициент α зависит от материала.
• Для изотропного твёрдого тела β приблизительно равно 3α при небольших изменениях температуры.
• Тепловые зазоры и компенсаторы предотвращают повреждения при изменении размеров.
• Различие коэффициентов расширения слоёв позволяет использовать биметаллическую пластину как чувствительный элемент.