"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Закон сохранения импульса помогает находить скорости тел после столкновения, выстрела, взрыва или разлёта частей. Для решения задачи выбирают систему тел, проверяют, можно ли считать её замкнутой, и сравнивают суммарный импульс до и после взаимодействия. Импульс является вектором, поэтому направления движения учитывают знаками проекций на выбранную ось. Главное уравнение связывает массы и скорости всех тел системы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина p = m·v, где m — масса тела, а v — его скорость. Единица измерения импульса — кг·м/с, направление импульса совпадает с направлением скорости. Это понятие нужно, чтобы учитывать одновременно массу тела и характер его движения.
Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в выбранную систему: Σp = p₁ + p₂ + … . При сложении важно учитывать направления, поэтому импульсы могут частично или полностью компенсировать друг друга. Такая сумма описывает движение всей системы.
Замкнутая система — система тел, на которую внешние силы не действуют или их действие взаимно компенсируется. Внутренние силы между телами при этом учитывать нужно, но они не меняют общий импульс. От выбора системы зависит, можно ли применить закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса утверждает: полный импульс замкнутой системы до взаимодействия равен её полному импульсу после взаимодействия. В общем виде это записывают так: Σpдо = Σpпосле. Закон позволяет найти неизвестную скорость, даже если взаимодействие длится очень недолго.
При взаимодействии тела действуют друг на друга силами, поэтому импульс каждого тела может измениться. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. За одинаковый промежуток времени изменения импульсов также противоположны, поэтому их сумма равна нулю, а общий импульс системы не изменяется.
Сначала нужно определить, какие тела участвуют в событии: например, обе тележки, оружие и пулю или все части разорвавшегося снаряда. Затем проверяют внешние силы, действующие на выбранную совокупность. Если внешним воздействием можно пренебречь по сравнению с внутренним взаимодействием, систему считают замкнутой и применяют закон сохранения импульса.
Импульс — вектор, поэтому равенство записывают в векторной форме: Σpдо = Σpпосле. В обычной задаче выбирают координатную ось и заменяют векторы их проекциями. Движение вдоль положительного направления дают со знаком плюс, а навстречу оси — со знаком минус.
Для двух тел закон записывают так: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂. Здесь v₁ и v₂ — скорости до взаимодействия, а u₁ и u₂ — после него. Если одно тело покоится, соответствующая скорость равна нулю; если тела движутся навстречу, их скорости получают разные знаки.
При столкновении можно найти общую скорость слипшихся тел, неизвестную скорость отлетевшей части или скорость отдачи. При разлёте нужно включить в уравнение импульсы всех частей, а при отдаче — импульсы снаряда и оружия. Одного уравнения иногда недостаточно: для упругого столкновения могут потребоваться дополнительные сведения, например о сохранении механической энергии.
Таблица помогает сопоставить состояние системы до и после события. Перед записью уравнения выберите ось и поставьте знаки у скоростей. Если после столкновения тела движутся вместе, используйте одну общую скорость и сумму масс.
| Ситуация | Состояние до взаимодействия | Состояние после взаимодействия | Основное уравнение | Что учитывать |
|---|---|---|---|---|
| Неупругое столкновение двух тел | Импульсы обоих тел до столкновения | Тела движутся вместе с общей скоростью u | m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u | Скорости направлены вдоль одной оси и имеют знаки |
| Упругое столкновение двух тел | Импульсы тел до столкновения | Тела расходятся с разными скоростями u₁ и u₂ | m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ | Одного уравнения импульса может быть недостаточно; нужны дополнительные данные |
| Выстрел или отдача | До выстрела система покоится | Пуля и оружие получают противоположные импульсы | mпvп + mорвoр = 0 | Импульсы равны по модулю и противоположны по направлению |
| Взрыв или разлёт частей | До разлёта тело покоится или имеет общий импульс | Части получают разные по направлению импульсы | Σpдо = Σpпосле | Учитывать импульсы всех частей системы |
Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 4 кг. После столкновения они движутся вместе. Нужно найти общую скорость, поэтому рассматриваем обе тележки как одну замкнутую систему.
Ответ: общая скорость тележек равна 1 м/с. Положительный знак означает, что после удара они продолжают двигаться в первоначальном направлении первой тележки.
Снаряд массой 2 кг летит со скоростью 300 м/с и разрывается на части массами 0,8 кг и 1,2 кг. Первая часть продолжает движение со скоростью 500 м/с. Нужно определить скорость второй части, считая движение одномерным.
Ответ: скорость второй части равна примерно 167 м/с в положительном направлении. Если бы расчёт дал отрицательное значение, это означало бы движение части в сторону, противоположную выбранной оси.
Лодка с человеком имеет общую массу 180 кг и покоится на воде. Масса человека 60 кг, после прыжка он движется относительно берега со скоростью 3 м/с. Найдём скорость лодки, считая систему лодка плюс человек замкнутой.
Ответ: лодка движется со скоростью 1,5 м/с в сторону, противоположную прыжку человека. Минус показывает именно направление движения лодки.
Часто складывают модули импульсов, не учитывая направления. Так поступают, когда воспринимают импульс как обычное число, но при встречном движении векторы направлены противоположно. Выберите ось, поставьте знаки у скоростей и проверьте направление полученного ответа.
Другая ошибка — включить в систему не все взаимодействующие тела или забыть о внешней силе. Например, для отдачи нужно рассматривать и оружие, и пулю, а для столкновения со стеной стена не является внешней для расширенной системы. Перед вычислениями перечислите тела внутри границ системы.
При неупругом столкновении иногда используют массу только одного тела после удара. Это неверно, потому что слипшиеся тела движутся как одно целое и имеют общую массу m₁ + m₂. Проверьте, что в правой части уравнения стоит сумма масс.
Нельзя сохранять импульс отдельного тела, если на него действует другое тело. Импульс отдельной тележки меняется именно из-за силы второй тележки. Закон относится к полной замкнутой системе, поэтому в записи должны присутствовать импульсы всех её частей.
Для решения задач нужны знания о массе, скорости и импульсе, втором законе Ньютона, векторном сложении и проекциях на ось. Эти умения помогают правильно составить уравнение и выбрать знаки скоростей.
Закон сохранения импульса используется при изучении столкновений, реактивного движения, отдачи оружия и движения ракет. Он особенно полезен там, где силы велики, а взаимодействие происходит очень быстро.
Закон сохранения энергии дополняет закон сохранения импульса. При упругом столкновении сохраняется механическая энергия, а при неупругом часть её переходит во внутреннюю энергию, звук и деформацию.
Почему импульс сохраняется, если скорости отдельных тел меняются?
При взаимодействии внутренние силы изменяют импульсы отдельных тел. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому изменения импульсов взаимно компенсируются. Суммарный импульс системы остаётся прежним.
Как понять, какие тела нужно включить в замкнутую систему?
Нужно включить все тела, которые заметно взаимодействуют друг с другом во время рассматриваемого события. Затем проверяют внешние силы: если их нет или их действие мало и взаимно компенсируется, систему можно считать замкнутой.
Почему скорость тела, движущегося навстречу оси, записывают со знаком минус?
Положительное направление оси выбирают условно. Движение в противоположную сторону имеет отрицательную проекцию скорости, поэтому знак минус показывает направление, а не отрицательную величину самой скорости.
Можно ли применять закон сохранения импульса при столкновении с неподвижной стеной?
Для одной шайбы система не будет замкнутой: на неё действует сила стены. Закон можно применить, если включить в систему шайбу и стену, а при необходимости — Землю, но тогда масса Земли настолько велика, что её движение обычно не рассматривают.
Чем применение закона сохранения импульса отличается от применения закона сохранения энергии?
Импульс сохраняется для замкнутой системы при любом взаимодействии. Механическая энергия сохраняется только при отсутствии потерь на деформацию, нагрев и звук, поэтому для неупругого столкновения её нельзя считать сохранённой.
§ 24. Применение закона сохранения импульса при решении задач
