§ 3. Прямолинейное равномерное движение по плоскости

Определения и обозначения

Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала координат к положению тела. Обычно его обозначают r, а начальное положение — r₀. Он нужен, чтобы описать положение тела на плоскости одной векторной величиной.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. Если начальный радиус-вектор равен r₀, а конечный — r, то перемещение равно r − r₀. Эта величина показывает не длину пройденного пути, а изменение положения и его направление.

Скорость равномерного прямолинейного движения — постоянный вектор, направленный вдоль траектории. Он показывает, как быстро и в каком направлении меняется радиус-вектор. Буквой v обозначают сам вектор скорости, а v — его модуль.

Проекция вектора на ось — его координатная составляющая на выбранном направлении. Проекции скорости обозначают vₓ и vᵧ, а радиус-вектора — координатами x и y. Благодаря проекциям движение по плоскости можно записать двумя обычными уравнениями.

Как это устроено

При равномерном прямолинейном движении тело за равные промежутки времени совершает равные перемещения. Прямолинейность означает, что направление движения не меняется, а равномерность — что не меняется величина перемещения за единицу времени. Поэтому вектор скорости остаётся одним и тем же: постоянны и его модуль, и направление.

За время t тело перемещается со скоростью v, поэтому перемещение равно произведению вектора скорости на время: Δr = vt. Конечный радиус-вектор получается из начального добавлением этого перемещения. Так возникает закон движения r = r₀ + vt: он сразу показывает положение тела в любой момент времени.

Чтобы перейти к координатам, радиус-вектор и скорость раскладывают на составляющие по осям Ox и Oy. Проекция перемещения на ось Ox равна vₓt, а на ось Oy — vᵧt. Поэтому координаты изменяются независимо: x = x₀ + vₓt и y = y₀ + vᵧt.

Прямая траектория следует из того, что отношение изменений координат постоянно: Δy/Δx = vᵧ/vₓ, если vₓ не равно нулю. Исключив время из двух уравнений, получают линейную связь между x и y, то есть уравнение прямой. Если одна из проекций равна нулю, движение идёт вдоль соответствующей координатной оси.

Скорость на плоскости складывается из взаимно перпендикулярных проекций. Поэтому её модуль нельзя находить обычным сложением vₓ и vᵧ: эти составляющие образуют катеты прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора v = √(vₓ² + vᵧ²), причём результат не зависит от времени.

Величины и уравнения равномерного прямолинейного движения на плоскости

Векторная запись удобна, когда нужно описать движение целиком, а запись через проекции — когда требуется найти отдельные координаты. Сначала определите начальное положение и проекции скорости, затем выберите нужную формулу. Для модуля скорости используйте последнюю строку таблицы.

Разбор задач

Задача 1

Тело движется со скоростью 3 м/с вдоль оси Ox. Найдите координату через 4 с, если начальная координата равна 2 м. Движение вдоль Ox означает, что vₓ = 3 м/с, а проекция на Oy равна нулю.

1. Записываем закон движения по оси Ox: x = x₀ + vₓt.
2. Подставляем данные: x = 2 м + 3 м/с · 4 с = 14 м.
3. Единицы времени сокращаются, поэтому результат имеет единицу длины.

Ответ: координата тела через 4 с равна 14 м.

Задача 2

Тело начинает движение из точки (1 м; 2 м), а проекции скорости равны 3 м/с и 4 м/с. Нужно найти координаты через 2 с и модуль скорости. Начальные координаты нельзя заменять нулём, потому что начало движения не совпадает с началом координат.

1. Для оси Ox: x = 1 м + 3 м/с · 2 с = 7 м.
2. Для оси Oy: y = 2 м + 4 м/с · 2 с = 10 м.
3. Модуль скорости находим по теореме Пифагора: v = √(3² + 4²) м/с = 5 м/с.

Ответ: через 2 с тело находится в точке (7 м; 10 м), его скорость по модулю равна 5 м/с.

Задача 3

Тело движется из точки (2 м; −1 м), его проекции скорости равны 4 м/с и 3 м/с. Найдём уравнение траектории и момент пересечения с прямой y = 5 м. Сначала нужно записать координаты как функции времени, а затем исключить время.

1. Координатные уравнения: x = 2 + 4t и y = −1 + 3t.
2. Из первого уравнения t = (x − 2)/4, а из второго t = (y + 1)/3. Приравниваем выражения: (x − 2)/4 = (y + 1)/3.
3. После преобразования получаем 3x − 4y − 10 = 0, или y = ¾x − 2½.
4. При пересечении с y = 5: 5 = −1 + 3t, поэтому 3t = 6 и t = 2 с.

Ответ: уравнение траектории — 3x − 4y − 10 = 0; прямую y = 5 тело пересечёт через 2 с.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что равномерное движение означает постоянство только модуля скорости. Так думают, потому что слово «равномерное» связывают лишь с одинаковыми расстояниями. Проверьте также направление: при прямолинейном движении оно не меняется.

Ошибка: подставлять модуль скорости вместо проекции в уравнение координаты. Модуль показывает общую быстроту, а координата меняется только из-за составляющей вдоль данной оси. Сверьте индекс: для x нужна vₓ, для y — vᵧ.

Ошибка: забывать начальные координаты и писать x = vₓt, y = vᵧt при любом выборе начала отсчёта. Такая запись верна только тогда, когда x₀ = 0 и y₀ = 0. Проверьте формулу при t = 0: она должна давать начальное положение.

Ошибка: складывать проекции как обычные положительные числа или находить модуль простым сложением. Знак проекции определяется направлением оси, а модуль вычисляется по формуле v = √(vₓ² + vᵧ²). Полезно представить проекции катетами прямоугольного треугольника.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны понятия вектора, координат точки, проекции вектора на ось и равномерного движения. Они позволяют перейти от словесного описания движения к формулам и учитывать направление каждой величины.

Координатный способ пригодится при изучении движения тела под действием силы тяжести и других сложных движений. Разложение по осям помогает решать такие задачи отдельно по горизонтали и вертикали, а затем объединять результаты.

Что запомнить

• При равномерном прямолинейном движении вектор скорости постоянен.
• За время t перемещение равно vt.
• Закон движения на плоскости: r = r₀ + vt.
• По осям координат: x = x₀ + vₓt и y = y₀ + vᵧt.
• Модуль скорости: v = √(vₓ² + vᵧ²).
• Траектория равномерного прямолинейного движения — прямая.