§ 42. Построение изображения в зеркалах

Определения и обозначения

Сферическое зеркало — часть сферической поверхности, отражающая свет; оно бывает вогнутым или выпуклым. У вогнутого зеркала отражающая сторона обращена внутрь сферы, у выпуклого — наружу. Это различие нужно учитывать, потому что зеркала по-разному меняют направление лучей и формируют изображения.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через полюс зеркала и центр сферической поверхности, то есть центр кривизны. Полюсом называют середину отражающей поверхности. Ось служит ориентиром для чертежа: относительно неё указывают положение предмета, фокуса и изображения.

Фокус зеркала — точка на главной оптической оси, где пересекаются лучи, отражённые от параллельного оси пучка, или их продолжения. У вогнутого зеркала такие лучи сходятся перед зеркалом, а у выпуклого сходятся их продолжения за ним. Фокус нужен, чтобы быстро строить один из основных отражённых лучей.

Действительное изображение образуется там, где пересекаются сами отражённые лучи; мнимое — там, где пересекаются их продолжения. Действительное изображение можно получить на экране, а мнимое — нельзя. По этому признаку определяют характер результата построения.

Как это устроено

Чтобы найти изображение протяжённого предмета, достаточно построить лучи от двух его характерных точек, например от концов стрелки. Отражённые лучи от каждой точки задают место её изображения: когда два луча пересекаются, их пересечение и есть изображение этой точки. Значит, после нахождения изображений концов остаётся соединить их, получив изображение всего предмета.

В сферическом зеркале удобно начинать с луча, параллельного главной оси. Вогнутое зеркало отражает такой луч через фокус, потому что поверхность направляет параллельный пучок к общей точке. Для выпуклого зеркала через фокус проходит не сам отражённый луч, а его продолжение. Это позволяет построить луч без измерения углов на каждом участке поверхности.

Другой основной луч проходит через фокус до отражения: после вогнутого зеркала он идёт параллельно оси. Луч, направленный к центру кривизны, падает на поверхность по радиусу, то есть перпендикулярно ей; поэтому угол падения равен нулю и луч возвращается по своей траектории. Эти правила дают несколько способов построения, а пересечение двух полученных лучей помогает проверить результат.

В плоском зеркале каждый луч отражается так, что угол падения равен углу отражения. Если продолжить отражённые лучи назад, за зеркалом они пересекутся в точках, симметричных соответствующим точкам предмета. Поэтому изображение оказывается на таком же расстоянии за зеркалом, какое предмет находится перед ним, и имеет ту же высоту. Сам свет за зеркалом не собирается, так что изображение мнимое.

У вогнутого зеркала лучи отражаются навстречу друг другу, и положение предмета определяет, где они пересекутся. Предмет дальше центра кривизны даёт изображение между центром и фокусом; предмет в центре — изображение там же. Между центром и фокусом изображение возникает дальше центра, а при приближении предмета к фокусу удаляется и увеличивается. В самом фокусе отражённые лучи параллельны, а между фокусом и зеркалом они расходятся: пересекаются только продолжения, поэтому изображение мнимое, прямое и увеличенное.

Выпуклая поверхность отражает лучи так, что после отражения они расходятся. Их продолжения пересекаются за зеркалом, и именно это пересечение задаёт изображение. Поскольку реальные лучи не сходятся, изображение всегда мнимое; расположение за зеркалом сохраняет прямую ориентацию, а размер получается меньше предмета.

Построение и свойства изображений в зеркалах

Сначала определите вид зеркала и положение предмета, затем проведите два удобных характерных луча. В последнем столбце указаны размер и ориентация; «перевёрнутое» означает, что изображение направлено противоположно предмету. Для вогнутого зеркала фокус расположен между зеркалом и центром кривизны.

Разбор задач

Задача 1. Построить изображение стрелки в плоском зеркале и указать его свойства. Для чертежа отметьте зеркальную линию и расположите перед ней стрелку. Здесь не нужно искать фокус: свойства плоского зеркала позволяют построить точки изображения симметрично предмету.

1. Отметьте верхний и нижний концы стрелки. Из каждого конца проведите перпендикуляр к плоскости зеркала, поскольку расстояние до зеркала измеряют именно по перпендикуляру.
2. Продолжите каждый перпендикуляр за зеркало. На продолжении отложите такое же расстояние, какое соответствующая точка предмета находится перед зеркалом.
3. Обозначьте полученные точки и соедините их. Направление стрелки сохранится, потому что верхний конец останется выше нижнего.

Ответ: изображение расположено за зеркалом на равном расстоянии, мнимое, прямое и равное предмету. Само пересечение происходит только у продолжений лучей.

Задача 2. Построить изображение предмета перед вогнутым зеркалом, если он находится дальше центра кривизны. Над осью изобразите предмет, а на оси отметьте центр кривизны и фокус между ним и зеркалом. Требуется определить не только место изображения, но также его размер и ориентацию.

1. От вершины предмета проведите луч параллельно главной оси. После отражения направьте его через фокус: это правило связывает параллельный луч с фокусом вогнутого зеркала.
2. Проведите от той же вершины луч через центр кривизны. Он падает на зеркало по перпендикуляру и после отражения возвращается по той же линии.
3. Найдите пересечение отражённых лучей. Оно лежит между фокусом и центром; от оси к этой точке проведите перпендикуляр, чтобы получить высоту изображения.

Ответ: изображение находится между центром кривизны и фокусом, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Пересечение самих отражённых лучей показывает, что изображение можно получить на экране.

Задача 3. Построить изображение предмета между фокусом и вогнутым зеркалом и объяснить результат. Предмет расположен ближе к зеркалу, чем фокус, поэтому отражённые лучи после зеркала расходятся. Чтобы найти изображение, нужно работать не с их реальным пересечением, а с продолжениями назад.

1. От вершины предмета проведите луч параллельно оси; после отражения он направлен так, как будто вышел из фокуса.
2. Проведите второй луч от вершины через фокус до зеркала. После отражения он идёт параллельно оси.
3. Продлите оба отражённых луча за зеркало в обратном направлении. Точка, в которой пересекутся продолжения, задаёт изображение вершины; проведите от неё перпендикуляр к оси.

Ответ: продолжения пересекаются за зеркалом, поэтому изображение мнимое. Оно прямое и увеличенное; реального пересечения отражённых лучей нет.

Типичные ошибки

Проводят отражённый луч по прямой линии, не учитывая закон отражения. Такую ошибку допускают, когда забывают, что луч меняет направление на поверхности и углы падения и отражения равны. Проверка: отметьте перпендикуляр к зеркалу в точке падения и убедитесь, что лучи по разные стороны от него образуют равные углы.

Путают фокус с центром кривизны. Эти точки лежат на одной оси, поэтому их легко поменять местами на чертеже. Фокус связан с отражением параллельных оси лучей, а центр кривизны — с радиусом сферы и возвратом луча по той же траектории. Проверьте порядок точек: у вогнутого зеркала между зеркалом и центром находится фокус.

Считают пересечение продолжений лучей действительным изображением. Причина ошибки — изображение на чертеже выглядит как обычная точка пересечения. Проследите, где проходят сами отражённые лучи: если встретились только линии, продолженные пунктирно или мысленно за зеркалом, изображение мнимое и на экран его не получить.

Неверно определяют размер или ориентацию изображения. Часто свойства вспоминают без проверки положения предмета относительно фокуса и центра. Для самопроверки сначала отметьте обе точки на оси, а затем найдите пересечение лучей: оно показывает положение и высоту изображения. Если вогнутое зеркало и предмет между фокусом и зеркалом, результат должен быть прямым и увеличенным, а не перевёрнутым.

Связь с другими темами

Для построений нужны законы отражения света, умение проводить перпендикуляр и аккуратно работать с масштабным чертежом. С линзами зеркала связывает метод главных лучей и различие действительных и мнимых изображений, хотя направление лучей меняется по-разному. Эти знания пригодятся при изучении оптических приборов: зеркала используют в телескопах, перископах, автомобильных зеркалах и системах освещения.

Что запомнить

• Изображение строят по пересечению отражённых лучей или их продолжений.
• В плоском зеркале изображение мнимое, прямое, равное предмету и симметричное ему.
• У вогнутого зеркала положение изображения зависит от положения предмета относительно фокуса и центра кривизны.
• Луч, идущий через центр кривизны вогнутого зеркала, отражается обратно по своей траектории.
• Предмет между фокусом и вогнутым зеркалом даёт мнимое, прямое и увеличенное изображение.
• Выпуклое зеркало всегда даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
• Для построения изображения обычно достаточно двух характерных лучей.