§ 15. Расчёт количеств теплоты при теплообмене. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Количество теплоты Q — энергия, которую тело получает или отдаёт при теплообмене. При нагревании тело получает энергию, а при охлаждении отдаёт её. Для расчёта учитывают не только сам факт передачи энергии, но и изменение температуры.

Уравнение теплового баланса — равенство суммарной теплоты, отданной одними телами, и теплоты, полученной другими. Оно справедливо, если теплообменом с окружающей средой пренебрегают. С его помощью находят неизвестную температуру, массу или количество теплоты.

Теплоёмкость тела C показывает, сколько теплоты нужно передать телу, чтобы изменить его температуру на один градус. Она зависит от вещества и массы тела. Связь с удельной теплоёмкостью выражается формулой C = cm.

Удельная теплоёмкость c — количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 °C. Её единица измерения — Дж/(кг·°C). Чем больше c, тем больше энергии требуется для одинакового нагревания тела той же массы.

Как это устроено

Если тела имеют разные температуры и соприкасаются, энергия переходит от более нагретого тела к менее нагретому. Горячее тело при этом остывает, а холодное нагревается. Процесс продолжается до установления общей температуры, потому что при одинаковой температуре направленного теплообмена уже нет.

Количество теплоты при нагревании или охлаждении находят по формуле Q = cmΔt. Масса m показывает, сколько вещества участвует в процессе, c учитывает его способность нагреваться, а Δt характеризует изменение температуры. Поэтому большая масса или большая разность температур обычно требуют передачи большего количества энергии.

В задаче сначала определяют, какое тело остывает, а какое нагревается. Для остывающего тела можно записать Qотд = c₁m₁(t₁ − t), а для нагревающегося Qпол = c₂m₂(t − t₂), где t — общая конечная температура. При отсутствии потерь эти количества равны, потому что энергия не исчезает, а переходит от одного тела к другому.

В уравнение баланса включают каждое тело, изменившее температуру. Если нагревается сосуд, его теплота тоже входит в полученную энергию; если сосуд остывает, он входит в отданную. После составления равенства неизвестную величину находят обычными алгебраическими преобразованиями, а затем проверяют результат: конечная температура должна быть между начальными температурами.

Расчёт количества теплоты и тепловой баланс

В таблице собраны основные ситуации и подходящие записи. Сначала определите, нагревается тело или охлаждается, затем найдите положительную разность температур. В задачах с несколькими телами отдельно записывают отданную и полученную теплоту.

Разбор задач

Нагревание воды

Нужно нагреть 2 кг воды от 20 °C до 50 °C. Известно, что c = 4200 Дж/(кг·°C), поэтому подходит формула для нагревания одного тела. Сначала найдём изменение температуры, затем подставим данные.

1. Δt = 50 °C − 20 °C = 30 °C.
2. Q = cmΔt = 4200 · 2 · 30 Дж.
3. Q = 252 000 Дж = 252 кДж.

Ответ: воде нужно передать 252 кДж теплоты.

Смешивание воды

Смешивают 0,5 кг воды при 80 °C и 1 кг воды при 20 °C. Горячая вода отдаёт энергию, а холодная получает её; конечную температуру обозначим t. Удельная теплоёмкость у обеих порций одинакова, поэтому её можно сократить после записи баланса.

1. Записываем баланс: 0,5c(80 − t) = 1c(t − 20).
2. После сокращения на c: 40 − 0,5t = t − 20, значит 60 = 1,5t.
3. t = 40 °C.

Ответ: установившаяся температура равна 40 °C.

Алюминиевый брусок в воде

Алюминиевый брусок массой 0,4 кг при 100 °C опускают в 0,6 кг воды при 20 °C. Пусть удельные теплоёмкости равны cал и cв; подставьте в итоговое выражение их значения из условия. Теплота, отданная алюминием, равна теплоте, полученной водой.

1. Составляем баланс: 0,4cал(100 − t) = 0,6cв(t − 20).
2. Раскрываем скобки и собираем слагаемые с t: 40cал + 12cв = t(0,4cал + 0,6cв).
3. Получаем t = (40cал + 12cв)/(0,4cал + 0,6cв), затем подставляем табличные значения.

Ответ: конечную температуру находят по полученной формуле; она должна быть между 20 °C и 100 °C.

Типичные ошибки

Подстановка начальной температуры вместо изменения температуры приводит к неверному результату. В формуле Q = cmΔt нужна разность температур, а не одна из них. Проверьте себя: при нагревании вычислите tкон − tнач, а при охлаждении — tнач − tкон.

Иногда путают тело, отдающее теплоту, с телом, которое её получает. Из-за этого меняют местами разности температур или получают отрицательное количество теплоты. Сначала сравните начальные и конечную температуры и подпишите роль каждого тела.

При смешивании разных веществ нельзя без причины сокращать массы или удельные теплоёмкости. Сокращение допустимо только для одинаковых множителей, например c у двух порций одного вещества. Перепишите баланс и проверьте, совпадают ли соответствующие величины.

Забытый сосуд или потери в окружающую среду меняют уравнение баланса. Если сосуд нагревается, добавьте его теплоту, а если в условии указаны потери, учтите их отдельно. Сверьте составленный список с условием: каждое участвующее тело должно быть отражено в расчёте.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать формулу Q = cmΔt, единицы физических величин и правила перевода единиц. Без этого трудно правильно подставить данные и получить ответ в джоулях. Особенно важно согласовать килограммы, градусы Цельсия и джоули.

Расчёты опираются на представление о теплообмене и изменении внутренней энергии тела. Полученная или отданная теплота связана с изменением состояния тела, например его температуры. Поэтому формула помогает описывать реальные процессы нагревания и охлаждения.

Уравнение теплового баланса используется в калориметрии и задачах о тепловых процессах. Оно пригодится при расчёте нагревания топлива, воды и других веществ. Главная идея остаётся прежней: сравнить энергию, которую одни тела отдали, с энергией, которую другие получили.

Что запомнить

• При теплообмене теплота передаётся от более тёплого тела к более холодному.
• Количество теплоты при изменении температуры рассчитывают по формуле Q = cmΔt.
• В изолированной системе отданная теплота равна полученной.
• В уравнение теплового баланса включают все тела, участвующие в теплообмене.
• При смешивании тел общая температура обычно находится между их начальными температурами.
• Перед вычислениями проверь единицы измерения и найди изменение температуры.