Действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Заряженная частица — частица с электрическим зарядом q, на которую может действовать магнитное поле. Примеры таких частиц — электрон и протон. Их движение в поле описывают, чтобы понять, какую траекторию они проходят.

Магнитная индукция — векторная физическая величина B, характеризующая магнитное поле. Её направление совпадает с направлением линий магнитной индукции, а единица измерения — тесла (Тл). В расчётах величина B показывает, насколько сильным является поле.

Сила Лоренца — сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле; её модуль определяется формулой Fл = |q|vB sin α. Здесь v — скорость частицы, а α — угол между векторами скорости и магнитной индукции. Формула помогает вычислить величину силы, а знак заряда нужен отдельно для определения её направления.

Правило левой руки — способ определить направление силы Лоренца по направлениям магнитной индукции и скорости положительного заряда. Ладонь располагают так, чтобы линии поля входили в неё, а вытянутые пальцы указывали скорость положительного заряда. Отогнутый на 90° большой палец показывает силу; для отрицательного заряда её направление противоположно.

Как это устроено

Магнитное поле действует на движущийся заряд, потому что взаимодействие связано с движением заряда относительно поля. Если частица покоится, её скорость равна нулю, поэтому в формуле Fл = |q|vB sin α получается нулевая сила. Значит, неподвижный заряд магнитное поле не отклоняет, хотя на него могут действовать другие силы, например электрическая.

Величина силы зависит от четырёх условий: модуля заряда |q|, скорости v, магнитной индукции B и угла α. Чем больше заряд, скорость или индукция, тем сильнее действие поля при прочих равных условиях. Угол учитывается множителем sin α: при α = 90° он равен единице, а при α = 0° или 180° — нулю.

Сила направлена перпендикулярно скорости частицы и линиям магнитной индукции. Такое направление следует из характера магнитного взаимодействия: поле отклоняет движущийся заряд в сторону, не совпадающую ни с его движением, ни с направлением поля. Для положительного заряда направление находят правилом левой руки, а для отрицательного меняют на противоположное.

Если частица движется вдоль линий поля, сила равна нулю, и при отсутствии других сил она продолжает прямолинейное равномерное движение. При движении поперёк поля сила максимальна и всё время направлена к центру окружности: она меняет направление скорости, играя роль центростремительной силы. Если частица летит под углом, составляющая скорости вдоль поля сохраняется, а поперечная составляющая вызывает вращение; вместе они дают винтовую траекторию.

Сила Лоренца не изменяет кинетическую энергию частицы, потому что работа силы зависит от составляющей силы вдоль перемещения, а такой составляющей нет. Иначе говоря, сила всё время перпендикулярна скорости, поэтому не увеличивает и не уменьшает её модуль. Меняется направление вектора скорости: именно так поле искривляет траекторию, не разгоняя частицу и не тормозя её.

Действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу

Сначала найдите угол между скоростью и линиями магнитного поля, а затем выберите подходящую строку. Таблица показывает, как из значения силы следует характер траектории, если на частицу не действуют другие силы. Для наклонного движения винтовая линия описывает сочетание движения вдоль поля и вращения вокруг его линий.

Разбор задач

Определение направления силы

Положительно заряженная частица движется вправо, а линии магнитного поля направлены от наблюдателя. Нужно определить направление силы Лоренца. Заряд положительный, поэтому направление скорости можно сразу использовать в правиле левой руки без изменения на противоположное.

1. Представьте, что линии магнитного поля направлены вглубь листа, от наблюдателя.
2. Расположите левую ладонь так, чтобы поле входило в неё, а четыре пальца были направлены вправо — по скорости частицы.
3. Большой палец покажет направление силы: вверх. Для положительного заряда это направление не меняют.

Ответ: сила Лоренца направлена вверх. Если бы частица была отрицательной, сила была бы направлена вниз. Это показывает, почему при определении направления важно учитывать знак заряда.

Модуль силы для электрона

Электрон движется со скоростью 2·10⁶ м/с перпендикулярно полю с индукцией 0,3 Тл. Требуется найти модуль силы. Поскольку угол равен 90°, множитель sin α равен единице, а модуль заряда электрона составляет 1,6·10⁻¹⁹ Кл.

1. Запишите формулу: Fл = |q|vB sin α.
2. Подставьте данные: Fл = 1,6·10⁻¹⁹ · 2·10⁶ · 0,3 · 1 Н.
3. Вычислите произведение: Fл = 9,6·10⁻¹⁴ Н.

Ответ: модуль силы равен 9,6·10⁻¹⁴ Н. Отрицательный заряд электрона не делает модуль силы отрицательным. Знак понадобился бы, чтобы определить направление отклонения частицы.

Радиус траектории протона

Протон влетает перпендикулярно в поле с индукцией 0,2 Тл со скоростью 4·10⁶ м/с. Найдём радиус окружности, по которой он движется. Для протона используем заряд 1,6·10⁻¹⁹ Кл и массу 1,67·10⁻²⁷ кг.

1. При движении поперёк поля сила Лоренца служит центростремительной силой: |q|vB = mv²/R.
2. Выразите радиус: R = mv/(|q|B). Скорость сокращается в одной степени, поэтому в числителе остаётся mv.
3. Подставьте значения: R = (1,67·10⁻²⁷ · 4·10⁶)/(1,6·10⁻¹⁹ · 0,2) м ≈ 0,21 м.

Ответ: радиус траектории протона примерно 0,21 м. Проверка размерности даёт метры, как и должно быть для радиуса. Чем больше скорость или масса частицы, тем больше радиус, а чем сильнее поле или заряд, тем он меньше.

Типичные ошибки

При вычислении модуля силы иногда подставляют заряд q со знаком и получают отрицательный результат. Это происходит из-за смешения модуля силы и направления: модуль не бывает отрицательным. Используйте |q| в формуле Fл = |q|vB sin α, а знак заряда учитывайте отдельно при выборе направления.

Другая ошибка — считать, что поле изменяет скорость частицы. Это путают с действием силы, направленной вдоль движения, но сила Лоренца перпендикулярна скорости. Проверьте себя: если сила не имеет составляющей вдоль скорости, она меняет направление движения, а не модуль скорости.

Иногда забывают множитель sin α и считают силу максимальной при любом направлении движения. Такой ответ верен только для угла 90°, когда частица движется поперёк поля. Для проверки подставьте крайние случаи: при 0° и 180° сила должна быть нулевой, а без синуса формула этого не покажет.

Наконец, правило левой руки применяют к электрону так же, как к положительному заряду. Правило показывает направление для положительного заряда, а у электрона оно противоположно из-за отрицательного знака. Чтобы проверить ответ, сначала найдите направление для положительной частицы, затем разверните его на 180°.

Связь с другими темами

Для понимания силы Лоренца нужны понятия электрического заряда, магнитного поля и магнитной индукции, а также умение работать с векторами. При анализе траектории по окружности пригодятся знания о равномерном движении по окружности. Сила Ампера, изучаемая при рассмотрении действия поля на проводник с током, складывается из магнитных действий на движущиеся заряды в проводнике. Сила Лоренца помогает объяснять работу масс-спектрометров, ускорителей и электронно-лучевых приборов.

Что запомнить

• Сила Лоренца действует на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле.
• Модуль силы Лоренца: Fл = |q|vB sin α.
• При движении вдоль линий магнитного поля сила Лоренца равна нулю.
• При движении перпендикулярно полю сила Лоренца максимальна.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы и магнитной индукции.
• Магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей и не изменяет её скорость.
• При поперечном влёте частица движется по окружности, а при наклонном — по винтовой линии.