§ 13. Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении

Определения и обозначения

Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Вектор показывает не весь пройденный маршрут, а изменение положения тела. При прямолинейном движении выбирают ось, и знак перемещения указывает, в какую сторону отнесено движение относительно неё. Это помогает находить координату тела и учитывать направление в расчётах.

Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость, а постоянство означает, что за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Такое условие позволяет пользоваться формулами равноускоренного движения. Если ускорение меняется, эти формулы напрямую применять нельзя.

Начальная скорость — скорость тела в момент начала отсчёта времени; её обозначают v₀. Она задаёт, насколько быстро и в каком направлении тело двигалось в начальный момент. Значение v₀ нужно отличать от скорости, которую тело имеет позднее. Например, тело может начать движение уже с некоторой скоростью или стартовать из состояния покоя.

Перемещение при равноускоренном движении находят по формуле s = v₀t + at²/2. Здесь s — перемещение, a — ускорение, t — время движения; величины вдоль оси учитывают со знаками. Формула показывает, как начальная скорость и изменение скорости вместе влияют на положение тела. Она нужна для расчёта перемещения за заданное время, если ускорение постоянно.

Как это устроено

За время t тело при равноускоренном движении перемещается так, как если бы всё это время двигалось с некоторой средней скоростью. Средняя скорость за такой промежуток равна полусумме начальной и конечной скоростей, потому что скорость меняется равномерно: в начале она одна, в конце другая, а между ними принимает промежуточные значения. Поэтому s = vсрt, где vср — средняя скорость. Такой способ связывает перемещение со скоростью, не требуя отдельно отслеживать каждое мгновение движения.

Чтобы получить привычную формулу, используют выражение для скорости при постоянном ускорении: v = v₀ + at. Средняя скорость равна (v₀ + v)/2, значит, после подстановки конечной скорости получается vср = (v₀ + v₀ + at)/2. Умножив это выражение на время t, получаем s = v₀t + at²/2. Так формула перемещения следует из изменения скорости, а не является отдельным правилом без связи с движением.

В формуле два слагаемых, потому что на перемещение влияют и начальная скорость, и ускорение. Выражение v₀t показывает, насколько тело переместилось бы за это время, сохраняя начальную скорость. Слагаемое at²/2 добавляет или вычитает перемещение, связанное с изменением скорости. Если ускорение равно нулю, это добавочное слагаемое исчезает, и остаётся формула равномерного движения.

При движении вдоль оси величины подставляют со знаками, выбранными относительно положительного направления. Знак ускорения показывает направление изменения скорости, но сам по себе не говорит, растёт или уменьшается её модуль: для этого нужно сравнить направления скорости и ускорения. Если они совпадают, модуль скорости увеличивается; если противоположны — уменьшается, пока тело не остановится. Поэтому нельзя просто отбросить минус у ускорения: знак помогает правильно определить перемещение.

Формулу применяют только на промежутке, где ускорение постоянно, и отсчитывают время именно для этого промежутка. Перед вычислением полезно перевести все данные в единицы СИ: секунды, метры и метры в секунду в квадрате. Тогда произведение v₀t выражается в метрах, как и at², а слагаемые можно складывать. Если движение меняется на отдельных участках, формулу применяют отдельно к каждому участку с его условиями.

График ниже показывает зависимость перемещения от времени для одного примера. Кривая получается нелинейной, потому что в формуле есть член, пропорциональный квадрату времени. При увеличении времени вклад ускорения становится заметнее.

Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении

Сначала найди в таблице нужную величину и проверь, какие данные задачи ей соответствуют. Затем выбери общую формулу или её частный случай для движения из покоя. Если движение рассматривается вдоль оси, сохраняй знаки начальной скорости и ускорения.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется прямолинейно с начальной скоростью 2 м/с и ускорением 1 м/с² в течение 3 с. Найдём перемещение. Здесь все данные уже заданы в единицах СИ, а ускорение положительное относительно выбранного направления.

1. Записываем формулу s = v₀t + at²/2, потому что ускорение постоянно. Она учитывает и начальную скорость, и её изменение.
2. Подставляем данные: s = 2 · 3 + 1 · 3²/2. Сначала вычисляем квадрат времени: 3² = 9.
3. Получаем s = 6 + 9/2 = 6 + 4,5 = 10,5 м. Слагаемые выражены в метрах, поэтому их можно складывать.

Ответ: перемещение равно 10,5 м в положительном направлении оси. Проверка показывает, что при положительной начальной скорости и положительном ускорении перемещение за это время должно быть больше, чем 2 · 3 = 6 м. Полученный результат этому соответствует.

Задача 2. Тело начинает движение из состояния покоя и за 4 с проходит 32 м. Найдём ускорение, предполагая его постоянным. Слова «из состояния покоя» означают, что начальная скорость равна нулю.

1. Подставляем v₀ = 0 в общую формулу: s = v₀t + at²/2 превращается в s = at²/2. Начальная скорость больше не вносит вклад в перемещение.
2. Выражаем ускорение: умножаем обе части равенства на 2 и делим на t², получаем a = 2s/t². Такое преобразование позволяет найти неизвестное a.
3. Подставляем значения: a = 2 · 32 / 4² = 64/16 = 4 м/с². Время нужно возвести в квадрат целиком, прежде чем выполнять деление.

Ответ: ускорение равно 4 м/с² в направлении перемещения. Проверим подстановкой: s = 4 · 4²/2 = 4 · 16/2 = 32 м. Значит, найденное значение ускорения согласуется с условием.

Задача 3. Ось направлена вдоль начальной скорости; v₀ = 12 м/с, a = −2 м/с², t = 4 с, начальная координата x₀ = 5 м. Найдём перемещение и конечную координату. Минус у ускорения сохраняется, поскольку оно направлено против положительного направления оси.

1. Используем s = v₀t + at²/2 и подставляем данные: s = 12 · 4 + (−2) · 4²/2. Квадрат относится ко всему времени, то есть 4² = 16.
2. Считаем слагаемые: 12 · 4 = 48 м, а (−2) · 16/2 = −16 м. Поэтому s = 48 − 16 = 32 м.
3. Координата после движения равна начальной координате плюс перемещение: x = x₀ + s. Получаем x = 5 + 32 = 37 м.

Ответ: перемещение равно 32 м, конечная координата — 37 м. Ускорение уменьшало скорость в положительном направлении, но за 4 с тело не успело остановиться. Это видно и по конечной скорости: v = 12 − 2 · 4 = 4 м/с, она всё ещё направлена вдоль оси.

Типичные ошибки

Использовать формулу равноускоренного движения, не проверив постоянство ускорения, — значит применять её вне нужного условия. Так поступают, когда узнают формулу, но не читают описание движения целиком. Проверь, говорится ли в задаче о постоянном ускорении на всём рассматриваемом промежутке. Если ускорение меняется, раздели движение на участки или используй подходящий способ решения.

Если забыть множитель 1/2 в слагаемом at²/2 или возвести в квадрат не всё время, получится неверный вклад ускорения. Ошибка часто возникает из-за спешки при переписывании формулы. Перед вычислениями запиши квадрат как t² в скобках подстановки, например (4 с)², и проверь, что деление на 2 осталось. Полезно подставить ответ обратно в исходное выражение.

Подстановка ускорения без знака может изменить результат и направление перемещения. Минус иногда отбрасывают, потому что воспринимают ускорение только как положительную величину. Сначала задай положительное направление оси, затем укажи знак каждой направленной величины. В конце оцени, согласуются ли знак и размер перемещения с направлением движения.

Перемещение и пройденный путь — не одно и то же, хотя при движении без смены направления они могут совпасть по числовому значению. Путь всегда считают как длину траектории, а перемещение учитывает начальное и конечное положения. Их путают, когда тело разгоняется, тормозит и меняет направление. Проверь, менялось ли направление: если да, учитывай отдельные участки движения, а не складывай их как одно перемещение.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения скорости и ускорения, а также формула скорости при равноускоренном движении v = v₀ + at. Через неё можно понять, как меняется скорость, и вывести формулу перемещения. Поэтому полезно уверенно различать начальную и конечную скорость, а также помнить, что ускорение может иметь знак.

Формула перемещения помогает решать задачи о положении движущегося тела: координату находят, прибавляя перемещение к начальной координате. Она также связывает время движения с изменением положения и пригодится при изучении графиков. По графику можно проследить, как меняется перемещение, а по формуле — рассчитать его для заданного времени.

Что запомнить

• Формула перемещения: s = v₀t + at²/2.
• Формула применима при постоянном ускорении.
• Если тело начинает движение из состояния покоя, то s = at²/2.
• Величины, направленные вдоль оси, подставляют в формулу с учётом их знаков.
• Перемещение — не всегда то же самое, что пройденный путь.
• В СИ перемещение измеряют в метрах, время — в секундах, ускорение — в м/с².