"Физика", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Чаругин В.М.
При равноускоренном прямолинейном движении скорость за равные промежутки времени изменяется одинаково. Чтобы определить, насколько и в каком направлении переместилось тело за время t, используют проекцию перемещения: sₓ = v₀ₓt + at²/2. Формула учитывает и движение с начальной скоростью, и изменение скорости из-за ускорения. Её можно получить по графику скорости, найдя площадь под ним, и применять в задачах на движение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Это значит, что скорость за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину. Такое описание позволяет предсказывать скорость и положение тела через заданное время.
Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с конечным. Оно показывает, куда и насколько тело переместилось, а не всю длину его траектории. Поэтому перемещение нужно отличать от пути: путь равен длине траектории и не задаёт направление.
Проекция перемещения — алгебраическая величина, показывающая перемещение вдоль выбранной оси. Если перемещение направлено вдоль положительного направления оси, проекция положительна, а если против него — отрицательна. Проекция удобна тем, что позволяет записывать движение в виде чисел и уравнений.
Уравнение перемещения задаёт зависимость проекции перемещения от времени: sₓ = v₀ₓt + at²/2. Здесь sₓ — проекция перемещения, v₀ₓ — проекция начальной скорости, a — проекция ускорения, t — время движения. По уравнению можно найти перемещение, если известны начальная скорость, ускорение и время.
При постоянном ускорении скорость за каждую секунду изменяется на одну и ту же величину, равную ускорению, если время измеряется в секундах. За время t изменение скорости составляет at: оно складывается из одинаковых изменений за каждый прошедший промежуток. Поэтому конечная проекция скорости выражается формулой vₓ = v₀ₓ + at. Эта связь нужна, чтобы увидеть, как движение меняется со временем.
Перемещение можно определить по графику проекции скорости от времени: оно соответствует площади между графиком и осью времени. При постоянном ускорении скорость меняется линейно, поэтому график представляет собой прямую. Участок площади в форме прямоугольника показывает перемещение, которое тело совершило бы, всё время двигаясь с начальной скоростью. Треугольник над прямоугольником учитывает дополнительное перемещение, вызванное изменением скорости.
Площадь прямоугольника равна v₀ₓt, а площадь треугольника — половине произведения времени на изменение скорости. Изменение скорости равно at, поэтому площадь треугольника составляет at²/2. Складывая площади, получаем sₓ = v₀ₓt + at²/2. Квадрат времени появляется потому, что основание треугольника равно t, а его высота, то есть изменение скорости, тоже пропорциональна t.
Знак проекции задаётся выбранным направлением оси, поэтому направление нужно определить до подстановки чисел. Если тело движется против положительного направления, проекция его скорости отрицательна, а перемещение в эту сторону имеет отрицательную проекцию. Ускорение может иметь знак, отличный от знака скорости: например, при движении вперёд тело может замедляться. Поэтому в уравнение подставляют проекции скорости и ускорения со знаками, а не только их модули.
Если начальная скорость равна нулю, член v₀ₓt исчезает и остаётся sₓ = at²/2. За одинаковые промежутки времени тело при этом проходит разные расстояния, потому что его скорость постепенно возрастает. Следующий равный промежуток времени начинается уже при большей скорости, чем предыдущий. Это отличается от равномерного движения, при котором за равные промежутки времени проходят равные пути.
На графике показан пример vₓ = 2 + t: скорость растёт от 2 м/с в момент t = 0 до 6 м/с при t = 4 с. За это время площадь под графиком равна площади прямоугольника 2 · 4 и треугольника ½ · 4 · 4. Их сумма составляет 16 м, то есть проекцию перемещения за четыре секунды.
В таблице собраны связи между величинами и их знаками. Перед расчётом выбери положительное направление оси, затем подставляй в формулы проекции величин. По последней строке можно проверить, правильно ли истолкован знак результата.
| Условие или величина | Формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Скорость через время t | vₓ = v₀ₓ + at | Как изменится проекция скорости за время t |
| Проекция перемещения за время t | sₓ = v₀ₓt + at²/2 | Перемещение вдоль оси с учётом начальной скорости и ускорения |
| Движение из состояния покоя | v₀ₓ = 0; sₓ = at²/2 | Проекцию перемещения, когда тело начинает движение без начальной скорости |
| Знак проекции перемещения | sₓ > 0 или sₓ < 0 | Направление перемещения относительно выбранной оси |
Задача 1. Автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью 12 м/с в течение 5 с. Найти проекцию перемещения. Поскольку скорость не меняется, ускорение равно нулю и остаётся только перемещение за счёт начальной скорости. Выберем положительное направление вдоль движения автомобиля.
Ответ: проекция перемещения равна 60 м. Положительный знак соответствует тому, что автомобиль движется вдоль выбранного положительного направления оси.
Задача 2. Тело начинает движение со скоростью 3 м/с и движется с ускорением 2 м/с² в течение 4 с. Найти проекцию перемещения. Направление ускорения совпадает с положительным направлением оси, поэтому обе проекции положительны. Здесь нужно учесть как начальный ход тела, так и увеличение скорости.
Ответ: проекция перемещения составляет 28 м. Второе слагаемое положительно, поскольку тело ускоряется в положительном направлении оси.
Задача 3. Тело движется вдоль оси Ox: v₀ₓ = 10 м/с, a = −2 м/с². Найти проекцию перемещения за 3 с и объяснить её знак. Отрицательное ускорение направлено против положительного направления оси, поэтому скорость тела уменьшается. Однако перемещение за всё это время ещё может оставаться направленным вперёд.
Ответ: sₓ = 21 м. Ускорение уменьшило перемещение относительно движения без ускорения, но за три секунды тело ещё не развернулось.
Первая ошибка — считать перемещение и путь одним и тем же. Так происходит потому, что при движении в одну сторону их численные значения совпадают, но это не всегда так. Перемещение зависит только от начального и конечного положений, а путь учитывает всю траекторию. Проверь себя: если тело вернулось в начало, перемещение нулевое, а путь — нет.
Вторая ошибка — подставлять модуль ускорения вместо его проекции. Часто знак теряют, когда видят в условии только число ускорения, не уточнив его направление. Сначала выбери ось и определи, куда направлен вектор ускорения относительно неё. Проверка: знак ускорения должен соответствовать выбранному направлению, даже если он не совпадает со знаком скорости.
Третья ошибка — забывать квадрат времени или коэффициент 1/2 во втором слагаемом. Формулу легко записать по памяти неверно, если не понимать происхождение дополнительного перемещения. Проверяй размерности: at² имеет единицы длины, а само слагаемое должно быть at²/2. Вывод через площадь треугольника на графике также показывает, откуда берётся деление на два.
Четвёртая ошибка — называть отрицательную проекцию отрицательным путём. Причина в том, что знак результата иногда воспринимают как характеристику длины, хотя он показывает направление относительно оси. Путь не бывает отрицательным, а проекция может быть меньше нуля. Проверь ответ: отрицательный знак должен означать движение против положительного направления, а не «путь со знаком минус».
Чтобы использовать уравнение перемещения, нужно знать, что такое скорость и ускорение, уметь находить проекцию вектора на ось и выбирать положительное направление. При выводе формулы помогает чтение графика скорости от времени: перемещение находится как площадь под графиком, которую можно разбить на прямоугольник и треугольник. Полученные формулы применяют в задачах на движение и для нахождения координаты тела, поскольку координата меняется на величину перемещения. Такой способ рассуждения пригодится и при изучении свободного падения — это движение с постоянным ускорением.
Чем перемещение отличается от пройденного пути?
Перемещение — вектор от начального положения тела к конечному, поэтому оно учитывает направление. Пройденный путь — длина всей траектории; он не бывает отрицательным. Если тело вернулось в начальную точку, перемещение равно нулю, а путь может быть ненулевым.
Почему в формуле перемещения есть член с квадратом времени?
За время t скорость меняется на at, потому что ускорение показывает изменение скорости за единицу времени. Дополнительная скорость растёт постепенно, поэтому дополнительное перемещение связано со средней добавкой скорости at/2 и равно at²/2. Тот же результат получается из площади треугольника под графиком скорости.
Как выбрать знаки скорости и ускорения в задаче?
Сначала выбери ось и укажи, какое направление считать положительным. Затем скорости и ускорению присвой знак по их направлениям относительно этой оси. В формулу подставляй именно проекции величин, а не их модули.
Что означает отрицательная проекция перемещения?
Она означает, что перемещение направлено против положительного направления выбранной оси. Это не отрицательный путь: путь остаётся неотрицательной длиной. Знак зависит от выбора оси.
Как найти перемещение по графику скорости от времени?
Нужно найти алгебраическую площадь между графиком vₓ(t) и осью времени за нужный промежуток. Участки выше оси дают положительный вклад, а ниже — отрицательный. Для прямолинейного равноускоренного движения график скорости — прямая, поэтому площадь можно разбить на простые фигуры.
§ 7. Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении
