§ 26. Центр масс. Центр тяжести тела

Определения и обозначения

Центр масс — точка, положение которой характеризует распределение массы тела. При расчёте движения тело можно мысленно представить так, словно вся его масса сосредоточена в этой точке. Это упрощает описание движения сложного тела, хотя само тело при этом не превращается в точку.

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на части тела. Иными словами, действие тяжести на всё тело можно заменить одной силой, приложенной в этой точке. Такое представление помогает изучать равновесие тела.

Линия действия силы тяжести — прямая, проходящая через центр тяжести и направленная вертикально вниз. Она показывает, по какой линии действует сила тяжести на тело. Положение этой линии относительно опоры помогает понять, сохранится ли равновесие.

Как это устроено

У сложного тела разные части могут двигаться по-разному, поэтому отслеживать каждую из них отдельно неудобно. Для общего описания движения выделяют центр масс: в этой точке как бы учитывается распределение всей массы. Такая модель не описывает повороты тела и движение его частей по отдельности, но помогает понять движение тела в целом. Например, при полёте предмета можно следить за движением его центра масс, даже если предмет вращается.

Чтобы представить, откуда берётся положение центра масс, мысленно разделим тело на небольшие части. У каждой части есть масса и своё место, поэтому тяжёлые части влияют на положение центра масс сильнее лёгких. Если массу с одной стороны увеличить или переместить, центр масс сместится в ту сторону. Значит, его положение зависит не только от формы тела, но и от того, как в нём распределена масса.

У однородного тела одинаковой плотности масса распределена равномерно. Если такое тело симметрично, его части по обе стороны от оси или центра симметрии взаимно уравновешивают друг друга, поэтому центр масс лежит на оси или в центре симметрии. Для линейки он находится посередине, а для однородного диска — в его центре. У пластинки неправильной формы симметрию использовать трудно, поэтому её подвешивают: в покое центр тяжести находится на вертикали через точку подвеса, которую показывает отвес. Повторив опыт с другой точкой подвеса, находят пересечение двух вертикалей.

На тело действует сила тяжести, распределённая по его частям. В однородном поле тяжести направление силы одинаково во всех точках, а её действие на всё тело можно заменить равнодействующей. Для такой замены выбирают точку, связанную с распределением массы, — центр масс; в однородном поле он совпадает с центром тяжести. Поэтому найденное положение центра масс позволяет указать и место приложения равнодействующей силы тяжести.

Опора удерживает тело, пока силы, действующие на него, не вызывают опрокидывания. Для проверки проводят вертикаль через центр тяжести: если она проходит внутри области опоры, тело сохраняет равновесие. Если вертикаль выходит за край опоры, сила тяжести создаёт поворот, и тело может опрокинуться. Поэтому широкое основание или низкое расположение тяжёлых частей обычно повышает устойчивость.

Центр масс и центр тяжести тела

Сравнивайте столбцы, чтобы не смешивать распределение массы и действие силы тяжести: это связанные, но не одинаковые понятия. Для задач о равновесии особенно важна строка о линии действия силы и области опоры. В однородном поле достаточно найти одну из совпадающих точек.

Разбор задач

Задача 1. Однородную линейку уравновесили на узкой опоре. Где находится точка опоры относительно концов линейки?

1. Линейка однородная, поэтому её масса распределена равномерно по длине.
2. Линейка симметрична относительно середины, и части по обе стороны от середины одинаково влияют на положение центра масс.
3. В однородном поле центр масс совпадает с центром тяжести. Чтобы линейка была уравновешена на узкой опоре, опора должна находиться под этой точкой.

Ответ: опора расположена посередине линейки, на одинаковом расстоянии от её концов.

Задача 2. Плоскую пластинку неправильной формы подвесили сначала за одну точку, затем за другую. Как найти её центр тяжести?

1. Подвешенная пластинка находится в равновесии, поэтому центр тяжести лежит на вертикали, проходящей через точку подвеса.
2. Приложите отвес у точки подвеса и проведите на пластинке линию вдоль нити. Эта линия указывает направление силы тяжести.
3. Подвесьте пластинку за другую точку и так же проведите вторую вертикаль. Точка пересечения линий лежит на обеих вертикалях и потому является центром тяжести.

Ответ: центр тяжести находится в месте пересечения двух проведённых вертикалей. Для проверки можно повторить подвешивание за третью точку: новая вертикаль тоже должна пройти через найденное место.

Задача 3. На лёгком стержне закреплены два груза разной массы. Где нужно поместить опору, чтобы стержень находился в равновесии?

1. Стержень лёгкий, поэтому его массой можно пренебречь по сравнению с массами грузов.
2. Центр масс смещён к более тяжёлому грузу. Значит, опора должна быть ближе к нему, но с разных сторон груза создаваемое действие должно уравновеситься.
3. Для проверки сравните произведения массы каждого груза на расстояние до опоры: они должны быть равны. Если один груз тяжелее, его расстояние до опоры должно быть меньше.

Ответ: опору помещают под центром тяжести, ближе к более тяжёлому грузу. Например, если один груз вдвое тяжелее другого, расстояние от него до опоры должно быть вдвое меньше расстояния от лёгкого груза.

Типичные ошибки

Не считайте, что центр тяжести обязательно находится внутри тела. У кольца он может оказаться в пустом центре, потому что это точка приложения равнодействующей, а не обязательно кусок вещества. Ошибку допускают, представляя центр тяжести как видимую отметку на поверхности. Проверьте себя: спрашивайте, где пересекаются линии действия сил, а не где есть материал.

Геометрический центр не всегда совпадает с центром масс. Совпадение верно для однородного тела с подходящей симметрией, но не для тела с неравномерным распределением массы. Часто форму тела ошибочно принимают за единственное условие. Проверьте, одинаково ли распределена масса по обе стороны предполагаемого центра.

Центр тяжести — не точка, где тело непременно касается опоры. Это точка приложения равнодействующей силы тяжести, которая может располагаться внутри тела или вне него. Путаница возникает из-за задач, где опору специально ставят под центром тяжести. Разделите в рассуждении место приложения силы и место соприкосновения тела с опорой.

Недостаточно сказать, что центр тяжести находится над опорой: нужно проверить, где проходит вертикаль через него. Если вертикаль попадает за край области опоры, тело может опрокинуться. Ошибка появляется, когда опору представляют одной точкой или смотрят только на высоту центра тяжести. Проверьте, проходит ли вертикаль внутри площади основания или между точками опоры.

Связь с другими темами

Для изучения этой темы нужны понятия массы тела и силы тяжести: масса показывает, сколько вещества в теле, а сила тяжести связана с притяжением тела Землёй. Также пригодятся равнодействующая сил — сила, заменяющая совместное действие нескольких сил, — и понятие равновесия. Вместе они позволяют понять, почему распределённое действие тяжести можно описывать одной силой.

Центр масс пригодится при изучении движения тел и законов сохранения: он помогает описывать движение сложной системы в целом. Центр тяжести используют, когда рассматривают равновесие и устойчивость конструкций. Например, инженеры учитывают его положение, чтобы опоры не опрокидывались под действием собственного веса.

Что запомнить

• Центр масс связан с распределением массы тела.
• Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести.
• В однородном поле тяжести центр масс совпадает с центром тяжести.
• У однородного симметричного тела центр масс находится на оси или в центре симметрии.
• Центр тяжести плоской пластинки можно найти пересечением вертикалей, проведённых при подвешивании.
• Для равновесия вертикаль через центр тяжести должна проходить через область опоры.