§ 27. Импульс тела

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Импульс обозначают буквой p. Он нужен, чтобы описывать движение тела с учётом сразу двух его свойств: массивности и быстроты.

Направление импульса тела совпадает с направлением его скорости. Масса — положительная скалярная величина, то есть она имеет числовое значение, но не имеет направления. Поэтому при умножении массы на вектор скорости направление результата не меняется.

Единица импульса в СИ — килограмм-метр в секунду, или кг·м/с. Она получается непосредственно из формулы: если m измеряется в килограммах, а v — в метрах в секунду, то p измеряется как кг·м/с. Эта единица показывает, какие единицы нужно использовать в расчётах.

Как это устроено

Одной скорости недостаточно, чтобы полностью охарактеризовать движение тела. Например, лёгкий мяч и тяжёлый груз могут двигаться с одинаковой скоростью, но груз остановить труднее. Значит, при описании движения нужно учитывать и массу, поэтому вводят величину, зависящую от массы и скорости.

Импульс получают как произведение массы на скорость: p = mv. Если масса постоянна, увеличение скорости в два раза увеличивает импульс в два раза. Если скорость не меняется, тело с массой в три раза больше имеет импульс в три раза больше.

Импульс является вектором, потому что скорость является вектором. При умножении вектора скорости на положительное число, которым является масса, его направление сохраняется. Поэтому движущиеся навстречу друг другу тела могут иметь одинаковые модули импульса, но противоположные направления.

При одинаковых массах больше импульс у тела, движущегося быстрее: тело массой 2 кг со скоростью 6 м/с имеет импульс 12 кг·м/с, а при скорости 3 м/с — 6 кг·м/с. При одинаковых скоростях больше импульс у тела с большей массой. Например, при скорости 4 м/с тела массой 1 кг и 5 кг имеют импульсы 4 и 20 кг·м/с.

Чтобы найти проекцию импульса на прямую, сначала выбирают положительное направление оси. Затем скорость записывают с нужным знаком: по направлению оси она положительна, против оси — отрицательна. После этого используют формулу pₓ = mvₓ, поэтому знак проекции импульса совпадает со знаком проекции скорости.

Импульс тела: основные характеристики

Таблица помогает быстро найти нужное свойство импульса перед решением задачи. Если требуется числовое значение, используют массу и модуль скорости. Если нужно указать направление или знак, учитывают направление скорости относительно выбранной оси.

Перед подстановкой проверьте единицы измерения. Масса должна быть выражена в килограммах, а скорость — в метрах в секунду.

Разбор задач

Задача 1

Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Требуется найти модуль его импульса. Направление движения здесь не задано, поэтому находим именно числовое значение импульса.

1. Записываем формулу для модуля импульса: p = m|v|.
2. Подставляем данные: p = 2 кг · 3 м/с.
3. Перемножаем числа и записываем единицу: p = 6 кг·м/с.

Ответ: модуль импульса равен 6 кг·м/с. Массу и скорость мы перемножили, а не разделили.

Задача 2

Два тела массой 1 кг и 4 кг движутся с одинаковой скоростью 5 м/с. Нужно сравнить их импульсы. Одинаковая скорость означает, что различие импульсов будет связано только с массами.

1. Для первого тела вычисляем импульс: p₁ = 1 кг · 5 м/с = 5 кг·м/с.
2. Для второго тела вычисляем импульс: p₂ = 4 кг · 5 м/с = 20 кг·м/с.
3. Сравниваем результаты: 20 : 5 = 4.

Ответ: импульс второго тела в 4 раза больше импульса первого. При одинаковой скорости импульсы относятся так же, как массы тел.

Задача 3

Тело массой 0,5 кг движется вправо со скоростью 6 м/с. Требуется найти проекцию импульса на ось, направленную влево. Так как движение направлено против выбранной оси, проекция скорости будет отрицательной.

1. Записываем скорость с учётом направления: vₓ = −6 м/с.
2. Используем формулу проекции импульса: pₓ = mvₓ.
3. Подставляем значения: pₓ = 0,5 кг · (−6 м/с) = −3 кг·м/с.

Ответ: проекция импульса равна −3 кг·м/с. Минус показывает, что импульс направлен противоположно положительному направлению выбранной оси.

Типичные ошибки

Импульс считают скаляром и не указывают его направление. Так происходит, когда запоминают только числовую формулу, но забывают, что скорость является вектором. Проверьте себя: если в условии указано направление движения, его нужно связать с направлением импульса.

Используют формулу p = m/v вместо правильной формулы p = mv. Ошибку допускают из-за привычки видеть в задачах разные действия с величинами. Проверьте зависимость: при увеличении массы или скорости импульс должен увеличиваться, а деление дало бы обратный результат.

Записывают единицу как кг/м·с. При такой записи метр оказывается в знаменателе, хотя в формуле масса умножается на скорость. Раскройте единицы в p = mv: кг · м/с = кг·м/с.

При вычислении проекции не учитывают направление оси и знак скорости. Число может получиться верным по модулю, но неверным по знаку. Сначала нарисуйте или мысленно выберите положительное направление, затем определите знак vₓ и только после этого вычисляйте pₓ.

Связь с другими темами

До изучения импульса нужно уметь находить массу и скорость, различать скалярные и векторные величины и пользоваться единицами СИ. Эти знания нужны, чтобы правильно выбрать формулу, направление и единицы ответа.

Понятие импульса понадобится при изучении изменения движения и взаимодействия тел. Позже с его помощью формулируют и применяют закон сохранения импульса, который объясняет многие столкновения и отдачу при движении.

Что запомнить

• Импульс тела обозначают p.
• Формула импульса тела: p = mv.
• Импульс — векторная величина.
• Направление импульса совпадает с направлением скорости.
• Модуль импульса равен произведению массы на модуль скорости.
• Единица импульса в СИ — кг·м/с.