"Физика", Изергин Э.Т.
Равномерное движение по окружности — движение тела по круговой траектории, при котором скорость по модулю не меняется. Однако направление скорости непрерывно поворачивается, поэтому тело движется с ускорением, направленным к центру окружности. Период, частота и угловая скорость описывают вращение, а формулы v = 2πR/T и aц = v²/R помогают решать задачи о колёсах, спутниках и других вращающихся телах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью. Числовое значение скорости не меняется, но её направление поворачивается в каждой точке траектории. Это движение используют как модель вращения колёс, деталей механизмов и небесных тел.
Период обращения T — время одного полного оборота тела по окружности. За один период тело проходит длину окружности и возвращается в исходную точку. Зная T, можно найти, сколько оборотов происходит за выбранное время.
Частота обращения ν — число полных оборотов за единицу времени. Обычно за единицу времени берут одну секунду, поэтому единица частоты — герц: 1 Гц = 1 оборот в секунду. Частота показывает, насколько быстро повторяется движение.
Угловая скорость ω — угол поворота радиуса, пройденный за единицу времени. За один полный оборот радиус поворачивается на угол 2π радиан, поэтому угловая скорость связывает время оборота с быстротой вращения. Чем больше ω, тем быстрее тело обходит окружность.
При равномерном движении по окружности тело проходит равные дуги за равные промежутки времени, поэтому модуль скорости постоянен. Но вектор скорости складывается из модуля и направления, а направление в каждой новой точке другое. Следовательно, движение равномерно по модулю скорости, но не является движением без ускорения.
За один оборот тело проходит длину окружности l = 2πR за время T. Скорость равна отношению пройденного пути ко времени, поэтому v = 2πR/T. Если за секунду совершается ν оборотов, путь за секунду равен 2πRν, и тогда v = 2πRν.
Скорость в любой точке направлена по касательной к окружности. Касательная касается окружности только в одной точке и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Ускорение направлено к центру, потому что именно в эту сторону изменяется вектор скорости при повороте тела.
Даже если модуль скорости не меняется, её направление непрерывно поворачивается, а значит, возникает ускорение. Чем больше скорость, тем быстрее меняется направление за секунду, поэтому ускорение растёт как квадрат скорости. Чем больше радиус при той же скорости, тем плавнее поворот, поэтому aц = v²/R.
За один оборот радиус поворачивается на 2π радиан, а таких оборотов за секунду бывает ν. Поэтому ω = 2πν. Так как ν = 1/T, получаем также ω = 2π/T.
| Величина | Обозначение | Единица СИ | Формула или смысл |
|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | м | Расстояние от центра до траектории |
| Период обращения | T | с | Время одного полного оборота |
| Частота обращения | ν | Гц | Число оборотов за секунду; ν = 1/T |
| Линейная скорость | v | м/с | v = 2πR/T = 2πRν |
| Угловая скорость | ω | рад/с | ω = 2π/T = 2πν |
| Центростремительное ускорение | aц | м/с² | aц = v²/R, направлено к центру |
Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти. Затем выберите формулу, проверьте единицы СИ и только после этого подставляйте числа. Для проверки результата полезно оценить, должен ли ответ увеличиваться или уменьшаться при изменении радиуса, скорости или времени.
Колесо радиусом 0,3 м совершает 2 оборота за 4 с. Требуется найти период, частоту и линейную скорость точки на ободе. Радиус уже дан в метрах, поэтому дополнительный перевод единиц не нужен.
Ответ: T = 2 с, ν = 0,5 Гц, v ≈ 0,94 м/с. При использовании π ≈ 3,14 получается тот же результат с округлением до сотых.
Тело движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 6 м/с. Нужно найти центростремительное ускорение и период обращения. Все данные уже выражены в единицах СИ.
Ответ: aц = 18 м/с², T ≈ 2,09 с. Большое ускорение объясняется тем, что скорость тела заметно меняет направление на окружности небольшого радиуса.
Спутник движется по круговой орбите радиусом 7,0 · 10⁶ м и совершает один оборот за 98 мин. Требуются скорость и центростремительное ускорение. Сначала минуты нужно перевести в секунды: T = 98 · 60 = 5880 с.
Ответ: v ≈ 7,5 · 10³ м/с, aц ≈ 8,0 м/с². Перевод времени в секунды обязателен, иначе скорость не получится в м/с.
Ошибка — считать движение равноускоренным только потому, что модуль скорости постоянен. Так думают, потому что слово равномерное связывают с отсутствием ускорения. Проверьте направление вектора скорости: если оно меняется, ускорение есть.
Нельзя направлять скорость к центру окружности. Скорость показывает мгновенное направление движения и идёт по касательной, а к центру направлено центростремительное ускорение. Самопроверка проста: скорость и радиус в одной точке должны быть перпендикулярны.
Неправильно подставлять в aц = v²/R радиус в сантиметрах или время в минутах. Ошибку допускают, когда забывают, что формулы требуют единиц СИ. Перед вычислением замените сантиметры на метры, минуты на секунды, а км/ч на м/с.
Период и частота нельзя считать одной и той же величиной. Период измеряется в секундах и равен времени одного оборота, частота измеряется в герцах и показывает число оборотов за секунду. Проверьте связь ν = 1/T: произведение этих величин должно быть равно единице.
Для изучения движения по окружности нужны знания о длине окружности, скорости и ускорении, а также о векторах и единицах СИ. Без этих понятий трудно понять направление скорости и правильно выбрать формулу. Особенно важна связь пути, времени и скорости.
Эта тема используется при изучении движения планет и спутников, вращения колёс и действия центростремительной силы. Она помогает описывать ситуации, в которых тело постоянно меняет направление движения. По формулам можно сравнивать скорость и ускорение разных вращающихся объектов.
Период, частота и угловая скорость понадобятся при изучении колебаний и вращательного движения. Повторяемость движения по окружности близка по смыслу к периодическим процессам. Поэтому умение переходить от T к ν и ω пригодится в следующих темах.
Почему движение называют равномерным, если направление скорости постоянно меняется?
Равномерным называют движение, при котором постоянен модуль скорости, то есть числовое значение скорости. Направление вектора скорости может изменяться, поэтому при движении по окружности тело всё равно имеет ускорение.
Куда направлены скорость и центростремительное ускорение?
В каждой точке окружности скорость направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу. Центростремительное ускорение направлено от тела к центру окружности.
Чем отличаются период обращения и частота обращения?
Период T — время одного полного оборота и измеряется в секундах. Частота ν — число оборотов за секунду, поэтому она измеряется в герцах и равна ν = 1/T.
Почему при увеличении радиуса центростремительное ускорение уменьшается при той же скорости?
При той же скорости aц = v²/R, поэтому ускорение обратно пропорционально радиусу. На большей окружности направление скорости за то же время изменяется менее резко.
Можно ли считать центростремительное ускорение отдельной новой силой?
Нет, центростремительное ускорение — не сила, а результат действия сил. Его создают сила натяжения, трение, притяжение или их равнодействующая, направленная к центру.
§ 4. Равномерное движение по окружности
