"Физика", Изергин Э.Т.
При равноускоренном движении скорость за равные промежутки времени меняется одинаково, поэтому перемещение можно вычислить, зная начальную скорость, ускорение и время. Основная формула учитывает и движение с начальной скоростью, и дополнительное перемещение из-за ускорения. Чтобы правильно подставить числа и определить направление перемещения, выбирают ось и работают с проекциями величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равноускоренное движение — движение, при котором ускорение постоянно. Это значит, что за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Например, если скорость каждую секунду возрастает на 2 м/с, движение равноускоренное. Понятие помогает описывать разгон и торможение с постоянным ускорением.
Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. Вектор показывает, куда и насколько переместилось тело, а не длину всего пройденного им пути. При прямолинейном движении удобно рассматривать проекцию перемещения на ось. Она позволяет учитывать направление движения знаком числа.
Начальная скорость — скорость тела в момент, от которого начинают отсчитывать время. Её обозначают v₀, а проекцию на ось — v₀ₓ. Начальная скорость нужна, чтобы учесть уже имеющееся движение тела до начала рассматриваемого промежутка. Если тело начинает движение из состояния покоя, v₀ₓ = 0.
Проекция перемещения — величина sₓ, показывающая перемещение вдоль выбранной оси с учётом направления. Она положительна, если перемещение направлено вдоль положительного направления оси, и отрицательна, если направлено против него. Проекция особенно удобна в расчётах на прямой. По её знаку можно проверить, в какую сторону перемещалось тело.
Ускорение показывает, как быстро меняется скорость: aₓ = (vₓ − v₀ₓ) / t. Если ускорение постоянно, за каждую секунду проекция скорости меняется на одну и ту же величину. За время t изменение скорости составит aₓt, поэтому конечная скорость равна начальной скорости плюс это изменение: vₓ = v₀ₓ + aₓt. Знак ускорения уже учитывает, увеличивается скорость или уменьшается относительно выбранной оси.
При равноускоренном движении скорость между начальным и конечным значениями меняется равномерно. Поэтому среднюю скорость за этот промежуток можно найти как полусумму скоростей: vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ) / 2. Это не случайное правило: при равномерном изменении скорости она в среднем за время оказывается ровно посередине между начальным и конечным значениями. Если тело разгоняется с 2 до 6 м/с, средняя скорость равна 4 м/с.
Проекция перемещения равна средней проекции скорости, умноженной на время: sₓ = vсрₓt. Подставим вместо средней скорости её выражение: sₓ = (v₀ₓ + vₓ)t / 2. Затем используем формулу скорости vₓ = v₀ₓ + aₓt и получим sₓ = (v₀ₓ + v₀ₓ + aₓt)t / 2. После упрощения выходит основная формула: sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
В формуле два слагаемых с разным смыслом. Первое, v₀ₓt, — перемещение, которое тело совершило бы за это время, сохраняя начальную скорость. Второе, aₓt²/2, добавляет или вычитает перемещение из-за изменения скорости. Если ускорение направлено против движения, второе слагаемое может быть отрицательным, поэтому итоговое перемещение будет меньше, чем при равномерном движении с начальной скоростью.
Проекция зависит от выбора оси, поэтому перед вычислениями нужно задать её положительное направление. При движении вдоль него перемещение имеет положительный знак, а при движении против него — отрицательный. Само перемещение при этом остаётся направленным вектором, и знак не означает, что тело прошло «отрицательный путь». Если тело развернулось, путь и модуль перемещения уже могут различаться.
| Условие | Формула | Что учитывать |
|---|---|---|
| Общий случай | sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 | Подставляйте проекции скорости и ускорения с их знаками. |
| Начальная скорость равна нулю | sₓ = aₓt²/2 | Используйте, если тело начинает движение из состояния покоя. |
| Ускорение направлено против положительного направления оси | aₓ < 0; sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 | Отрицательный знак ускорения указывает его направление. |
| Перемещение за промежуток времени | sₓ = vсрₓt = (v₀ₓ + vₓ)t/2 | Подходит, если известны начальная и конечная проекции скорости. |
Сначала выберите строку, подходящую к условию задачи, а затем проверьте, известны ли все величины в формуле. Если начальная скорость или ускорение направлены против выбранной оси, записывайте их проекции со знаком минус. Результат относится к перемещению вдоль оси; путь определяют отдельно, если тело меняло направление.
Задача 1. Тело движется прямолинейно с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с². Найдите проекцию перемещения за 4 с. Поскольку направление ускорения в условии совпадает с выбранным направлением движения, обе проекции положительны. Найдём перемещение по формуле для равноускоренного движения.
Ответ: проекция перемещения равна 28 м. Положительный знак соответствует выбранному направлению оси.
Задача 2. Тело начинает движение из состояния покоя и движется с ускорением 1,5 м/с². Какой путь оно пройдёт за 6 с? Начальная скорость равна нулю, поэтому первое слагаемое общей формулы исчезает. Поскольку в условии нет смены направления, путь равен модулю перемещения.
Ответ: тело пройдёт путь 27 м. Здесь путь равен модулю перемещения, потому что тело двигалось по прямой в одном направлении.
Задача 3. Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и начинает тормозить с ускорением −4 м/с². Найдите его перемещение до остановки. Выберем положительное направление по движению автомобиля, поэтому начальная скорость положительна, а ускорение отрицательно. Сначала выясним, сколько длится торможение, и только потом найдём перемещение.
Ответ: перемещение до остановки равно 50 м в направлении первоначального движения. Оно положительно, а полученное значение меньше перемещения при движении все 5 секунд с постоянной скоростью 20 м/с, что соответствует торможению.
Подмена проекции ускорения его модулем. Так часто делают, потому что модуль выглядит как привычное положительное число. Но при торможении ускорение направлено против движения, и при оси по ходу движения нужно брать aₓ < 0. Проверьте знак по смыслу: при торможении скорость должна уменьшаться.
Перемещение принимают за путь. Их легко спутать, потому что при движении прямо в одну сторону значения совпадают по модулю. Если тело меняет направление, путь учитывает всю траекторию, а перемещение соединяет только начальное и конечное положения. Проверьте, не разворачивалось ли тело, например, не успело ли оно остановиться и поехать обратно.
Забывают возвести время в квадрат. В спешке записывают aₓt/2, хотя во втором слагаемом формулы стоит aₓt²/2. Квадрат возникает потому, что изменение скорости за время t равно aₓt и влияет на перемещение в течение этого же времени. Перед вычислением перепишите формулу полностью и проверьте размерность: без t² единицы не будут метрами.
В формулу подставляют конечную скорость вместо начальной. Это происходит, когда не различают моменты начала и конца выбранного промежутка. В выражении sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 используется скорость в начале отсчёта времени, а конечная скорость входит, например, в формулу средней скорости. Отметьте на черновике, к какому моменту относится каждая скорость.
Чтобы применять формулу перемещения, нужно уметь находить скорость и ускорение, а также их проекции на ось. Её вывод опирается на закон изменения скорости при равноускоренном движении и на понятие средней скорости. Полученные знания помогают решать задачи на торможение и свободное падение, где ускорение постоянно. По графику скорости перемещение можно определить как площадь под графиком с учётом знака.
Почему в формуле перемещения появляется квадрат времени?
Скорость меняется со временем, поэтому дополнительное перемещение из-за ускорения тоже зависит от времени. Ускорение умножается на время, чтобы получить изменение скорости, а затем это изменение учитывается ещё на протяжении времени движения. Поэтому в формуле появляется t².
Когда можно пользоваться формулой s = at²/2?
Эта формула подходит для равноускоренного прямолинейного движения, если начальная скорость равна нулю. Величина a должна быть проекцией ускорения на выбранную ось. Если направление движения меняется, нужно отдельно проверить, совпадает ли путь с модулем перемещения.
Почему при торможении ускорение записывают со знаком минус?
При торможении ускорение направлено противоположно скорости. Если положительное направление оси выбрано по движению автомобиля, проекция ускорения будет отрицательной. Само ускорение при этом не «отрицательное» по величине — знак показывает его направление относительно оси.
Чем перемещение отличается от пройденного пути?
Перемещение — вектор от начального положения тела к конечному, а путь — длина всей траектории. Путь не бывает отрицательным, тогда как проекция перемещения может иметь любой знак. Если тело двигалось прямо и не меняло направление, путь равен модулю перемещения.
Можно ли найти перемещение, если известны только начальная скорость и время?
Для равноускоренного движения этих данных недостаточно: нужно знать ещё ускорение. При разных ускорениях за одно и то же время тело переместится на разные расстояния. Исключение — равномерное движение, когда ускорение равно нулю.
§ 5. Перемещение при равноускоренном движении
