Упражнение 2

Определения и обозначения

Гармонические колебания — движение, координата которого меняется по синусу или косинусу: x(t) = A cos(ωt + φ). Такая модель описывает повторяющееся движение и позволяет вычислять положение тела в любой момент времени.

Амплитуда — максимальное по модулю отклонение от положения равновесия; её обозначают A. Координата колеблется в пределах −A ≤ x ≤ A, поэтому амплитуда задаёт размах движения и не может быть отрицательной.

Период T — время одного полного колебания, а частота ν — число колебаний за единицу времени. Эти величины взаимно обратны: T = 1/ν; по периоду удобно находить длительность цикла, а по частоте — скорость повторения процесса.

Циклическая частота ω показывает, насколько быстро изменяется фаза, и измеряется в рад/с; начальная фаза φ задаёт состояние колебательной системы при t = 0. Вместе они определяют аргумент ωt + φ и тем самым положение тела в каждый момент.

Как это устроено

Движение можно считать гармоническим, если оно периодично и его координата меняется по синусоидальному закону, например для груза на пружине или маятника при малых отклонениях. В условии обычно прямо дана формула с sin или cos либо указано, что действует возвращающая сила, пропорциональная смещению. Тогда достаточно привести закон к виду x(t) = A cos(ωt + φ) и определить его параметры.

Синус и косинус описывают один и тот же тип движения, поскольку отличаются сдвигом фазы. Косинус удобен, когда в начальный момент тело находится в крайнем положении: при φ = 0 получается x(0) = A. Синус часто проще при прохождении положения равновесия, но начальную фазу можно подобрать в любом варианте.

За время T фаза увеличивается на 2π, поэтому ωT = 2π. Отсюда T = 2π/ω, ν = 1/T и ω = 2πν: частота считает колебания, а циклическая частота измеряет изменение угловой фазы. Множитель 2π появляется потому, что полный цикл соответствует углу 2π радиан.

Скорость получают дифференцированием координаты: для x = A cos(ωt + φ) имеем v = −Aω sin(ωt + φ). Ещё одна производная даёт ускорение a = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x, поэтому vmax = Aω, аmax = Aω². Скорость максимальна при прохождении равновесия, а ускорение — в крайних положениях.

Проверка начинается с единиц: A должна быть в метрах, T — в секундах, ν — в герцах, ω — в рад/с. Затем проверьте ограничения −A ≤ x ≤ A, а также согласуйте знаки скорости и ускорения с движением тела. Размерность и разумный порядок результата часто позволяют обнаружить ошибку ещё до окончательного ответа.

Величины и зависимости при гармонических колебаниях

Сначала найдите в условии известные величины, а затем используйте строку таблицы с нужной связью. Если дана формула движения, амплитуда и циклическая частота читаются непосредственно из неё.

Для перехода между периодом, частотой и ω применяйте сразу несколько равенств, но не смешивайте ν и ω: они отличаются множителем 2π.

Разбор задач

Задача 1

Условие: движение задано законом x = 0,04 cos(2πt + π/3). Найти амплитуду, период, частоту и смещение в момент времени t.

1. Сравниваем формулу с x = A cos(ωt + φ): A = 0,04 м, ω = 2π рад/с, φ = π/3.
2. Находим период: T = 2π/ω = 2π/(2π) = 1 с.
3. Частота ν = 1/T = 1 Гц.
4. В заданный момент подставляем его значение: x(t) = 0,04 cos(2πt + π/3) м. Без конкретного t численное смещение получить нельзя.

Ответ: A = 0,04 м, T = 1 с, ν = 1 Гц; смещение вычисляется подстановкой заданного времени в исходный закон.

Задача 2

Условие: амплитуда равна 5 см, максимальная скорость — 0,8 м/с. Найти ω, T и максимальное ускорение.

1. Переводим амплитуду: A = 0,05 м.
2. Из vmax = Aω получаем ω = 0,8/0,05 = 16 рад/с.
3. Период T = 2π/ω = 2π/16 ≈ 0,39 с.
4. Ускорение amax = Aω² = 0,05 · 16² = 12,8 м/с².

Ответ: ω = 16 рад/с, T ≈ 0,39 с, amax = 12,8 м/с².

Задача 3

Условие: груз на пружине массой m начинает движение из положения максимального отклонения x₀ = A. Жёсткость пружины k известна. Определить закон движения, скорость и координату в момент t.

1. Для пружинного маятника вычисляем ω = √(k/m).
2. В момент t = 0 груз находится в крайнем положении и обычно имеет v₀ = 0, поэтому удобно взять x(t) = A cos(ωt), то есть φ = 0.
3. Дифференцируем закон: v(t) = −Aω sin(ωt).
4. Подставляем найденную ω и заданное время: x(t) = A cos(√(k/m)t), v(t) = −A√(k/m) sin(√(k/m)t).

Ответ: x(t) = A cos(√(k/m)t), а координату и скорость в нужный момент находят подстановкой времени.

Типичные ошибки

Путают ν и ω. Частота измеряется в герцах и равна 1/T, а циклическая частота измеряется в рад/с и равна 2πν. Проверяйте, какая величина стоит в аргументе синуса или косинуса: там находится именно ω.

Не переводят сантиметры и миллисекунды в СИ. Из-за этого амплитуда и период отличаются от правильных в 100 или 1000 раз. Перед вычислениями выпишите A в метрах, а T — в секундах.

Неверно выбирают начальную фазу. Одного начального положения недостаточно, если неизвестно направление движения: одинаковую координату тело может проходить в разные стороны. Используйте одновременно x₀ = A cos φ и v₀ = −Aω sin φ, затем проверьте знак скорости.

Забывают множители ω и ω². Максимальная скорость равна не A, а Aω, ускорение — не Aω, а Aω². Проверьте размерность: скорость должна иметь единицу м/с, а ускорение — м/с².

Связь с другими темами

Для решения задач нужны графики синуса и косинуса, правила дифференцирования и умение работать с единицами измерения. Эти знания помогают связывать вид графика с положением и скоростью тела.

Гармонические колебания опираются на понятия положения равновесия, амплитуды, периода и закона сохранения энергии. Энергия переходит из потенциальной в кинетическую, но при идеальных колебаниях их сумма сохраняется.

Полученные формулы применяются к маятникам, электрическим колебаниям в контуре, распространению волн и явлению резонанса. В каждой из этих тем повторяются идеи периода, частоты, фазы и амплитуды.

Что запомнить

• Гармоническое колебание описывается синусом или косинусом.
• Амплитуда — наибольшее по модулю отклонение от равновесия.
• Период — время одного полного колебания.
• Частота равна обратной величине периода.
• Циклическая частота связана с частотой формулой ω = 2πν.
• Максимальные значения скорости и ускорения равны vmax = Aω и amax = Aω².