Упражнение 3

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки. Конденсатор запасает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Такой контур нужен для получения и изучения электромагнитных колебаний.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и энергии в контуре без внешнего периодического воздействия. Они возникают после начального заряда конденсатора или сообщения току катушке. Это позволяет наблюдать собственный ритм системы.

Формула Томсона задаёт период собственных колебаний: T = 2π√(LC), где T — период, L — индуктивность катушки, C — ёмкость конденсатора. По ней можно найти время одного полного обмена энергией. Величины L и C должны быть выражены в единицах СИ.

Электромагнитная энергия контура — сумма энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Она выражается как W = q²/(2C) + LI²/2. В идеальном контуре эта сумма постоянна, хотя отдельные слагаемые непрерывно меняются.

Как это устроено

Если предварительно зарядить конденсатор, между его обкладками появится электрическое поле и запасётся энергия. После замыкания цепи конденсатор начинает разряжаться через катушку, поэтому в ней возникает ток. По мере разрядки заряд уменьшается, а энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля катушки.

Ток не прекращается мгновенно в момент полной разрядки конденсатора. Изменение тока вызывает явление самоиндукции: возникающее индукционное поле противодействует изменению тока. Благодаря этому ток продолжает течь и перезаряжает конденсатор уже с противоположной полярностью.

Когда ток уменьшается до нуля, конденсатор снова заряжен, но его обкладки поменялись местами по знаку. Затем процесс повторяется в обратном направлении. В идеальном контуре энергия сохраняется, поэтому колебания продолжаются бесконечно, а в реальном постепенно ослабевают.

Период можно получить из закона сохранения энергии и уравнений контура. Энергия электрического поля равна q²/(2C), а магнитного — LI²/2; связь тока с изменением заряда имеет вид I = dq/dt. Решение получающегося уравнения аналогично гармоническим колебаниям и приводит к T = 2π√(LC).

При увеличении ёмкости конденсатор способен накопить больше энергии при том же заряде, поэтому обмен энергией происходит медленнее. Большая индуктивность сильнее препятствует быстрому изменению тока. Поэтому увеличение C или L увеличивает период T, а частота ν = 1/T уменьшается.

Основные характеристики свободных электромагнитных колебаний

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите соответствующую формулу. Затем переведите L и C в единицы СИ: генри и фарады. Для сравнения изменений удобно использовать пропорциональности, не вычисляя сам период.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор ёмкостью 2 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,5 Гн. Найдём период и частоту собственных колебаний. Главное — сначала заменить микрофарады на фарады.

1. Переведём ёмкость: C = 2 мкФ = 2 · 10⁻⁶ Ф.
2. Вычислим произведение: LC = 0,5 · 2 · 10⁻⁶ = 10⁻⁶ с².
3. По формуле Томсона T = 2π√(LC) = 2π · 10⁻³ с ≈ 6,28 · 10⁻³ с.
4. Частота является обратной величиной: ν = 1/T ≈ 159 Гц.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, ν ≈ 159 Гц.

Задача 2. Ёмкость увеличили в 4 раза. Нужно определить изменение периода и частоты без подстановки чисел. Из формулы Томсона видно, что период зависит от корня из ёмкости.

1. Запишем отношение периодов: T₂/T₁ = √(C₂/C₁).
2. Так как C₂ = 4C₁, получаем T₂/T₁ = √4 = 2.
3. Частота обратно пропорциональна периоду, поэтому ν₂/ν₁ = 1/2.

Ответ: период увеличится в 2 раза, а частота уменьшится в 2 раза.

Задача 3. Максимальный заряд конденсатора равен qₘ, его ёмкость — C, индуктивность катушки — L. В момент максимального заряда вся энергия находится в электрическом поле, а при максимальном токе — в магнитном, поэтому эти энергии можно приравнять.

1. Запишем сохранение энергии: qₘ²/(2C) = LIₘ²/2.
2. Сократим общий множитель ½: qₘ²/C = LIₘ².
3. Выразим ток и выберем положительный корень: Iₘ = qₘ/√(LC).

Ответ: максимальный ток равен Iₘ = qₘ/√(LC).

Типичные ошибки

Ёмкость в микрофарадах или индуктивность в миллигенри подставляют без перевода в СИ. Это меняет результат на множители 10⁶ или 10³. Проверяйте: перед вычислением C должна быть в фарадах, а L — в генри.

Период и частоту иногда считают одной и той же величиной. Период измеряется в секундах и равен времени одного цикла, а частота — в герцах и равна 1/T. После расчёта проверьте единицу и убедитесь, что ν и T взаимно обратны.

Ошибочно считать, что энергия одновременно полностью находится в конденсаторе и катушке. Максимум электрической энергии соответствует максимальному заряду, а максимум магнитной — максимальному току. В эти моменты одно из полей имеет нулевую энергию.

При увеличении L или C иногда ожидают уменьшения периода. Но T = 2π√(LC), поэтому рост любого множителя увеличивает корень и сам период. Быстрая проверка — определить, выросло или уменьшилось произведение LC.

Связь с другими темами

Для понимания контура нужны закон сохранения энергии, формула энергии конденсатора и явление самоиндукции. Они объясняют, почему движение энергии между двумя полями не прекращается мгновенно.

Знание собственных колебаний необходимо при изучении вынужденных колебаний, резонанса и радиотехнических цепей. На практике расчёты также требуют уверенного перевода единиц в СИ и преобразования формул относительно неизвестной величины.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки.
• В контуре энергия переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Период собственных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• Частота равна обратной величине периода: ν = 1/T.
• Увеличение ёмкости или индуктивности увеличивает период колебаний.
• В идеальном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется.
• В реальном контуре колебания постепенно затухают из-за потерь энергии.