§ 3.13. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Уравнение гармонического колебания — зависимость координаты тела от времени, обычно x = A cos(ωt + φ₀). По ней видно, что движение периодическое, а также можно найти положение тела в любой момент. Из записи сразу получают амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу.

Амплитуда колебаний — максимальное по модулю отклонение от положения равновесия. В уравнении x = A cos(ωt + φ₀) амплитуда равна модулю коэффициента перед косинусом. Она задаёт границы движения, но сама по себе не показывает, в какую сторону тело движется в начале.

Циклическая частота ω показывает, насколько быстро изменяется фаза колебания, и измеряется в рад/с. Она связана с периодом и частотой формулами ω = 2π/T = 2πν. Эта величина нужна, чтобы правильно определить скорость изменения координаты и записать фазу в радианах.

Начальная фаза φ₀ — значение фазы при t = 0. Она связана с начальными условиями: x₀ = A cos φ₀ и v₀ = −ωA sin φ₀. Поэтому для однозначного выбора фазы обычно нужны и координата, и скорость, включая их знаки.

Как это устроено

Сначала из условия выделяют тело, которое движется периодически, и выбирают положение равновесия. Затем смещение от этого положения обозначают координатой x, а направление положительной оси задают произвольно, но последовательно. Такой выбор превращает словесное условие в набор величин: массу, жёсткость, длину, начальные координату и скорость.

Решение начинают с физической модели, потому что разные системы имеют разные причины возвращения к равновесию. Для пружинного маятника это закон Гука F = −kx и второй закон Ньютона, откуда получается ω = √(k/m). Для математического маятника при малых углах используют T = 2π√(l/g), поскольку возвращающая сила в этом приближении пропорциональна отклонению.

Все данные переводят в СИ до подстановки: длины — в метры, время — в секунды, массу — в килограммы, жёсткость — в Н/м. Это необходимо, потому что формулы объединяют величины разных типов, и несогласованные единицы изменяют численный результат. Размерностная проверка помогает обнаружить ошибку: например, ω должна иметь единицу 1/с, а энергия — джоуль.

Неизвестные параметры находят из начальных условий и физических законов. Координата задаёт косинус фазы, скорость — синус с противоположным знаком, ускорение можно получить из a = −ω²x, а энергию — из E = ½mv² + ½kx². Если данных достаточно, эти способы должны приводить к одному результату и служить взаимной проверкой.

В конце проверяют смысл ответа, а не только арифметику. Координата гармонического движения не выходит за пределы от −A до A, энергия не бывает отрицательной, а скорость в крайних положениях равна нулю. Полезно также рассмотреть предельные случаи: при x = 0 скорость максимальна, а при увеличении массы пружинного маятника его частота уменьшается.

Параметры гармонического колебания и основные связи между ними

Сначала найдите в условии величины, стоящие непосредственно в уравнении, а затем используйте связи между периодом, частотой и ω. Если известны начальные координата и скорость, амплитуду можно вычислить по формуле A = √(x₀² + (v₀/ω)²). Единицы в последнем столбце помогают быстро проверить размерность результата.

Разбор задач

Задача 1

Движение задано уравнением x = 0,04 cos(4πt + π/3) м. Требуется определить амплитуду, период, частоту, начальную фазу и координату в момент t₁. Сравним запись с общей формой, чтобы не перепутать частоту с коэффициентом при времени.

1. Амплитуда равна A = 0,04 м, циклическая частота ω = 4π рад/с, начальная фаза φ₀ = π/3.
2. Период T = 2π/ω = 2π/(4π) = 0,5 с, а частота ν = 1/T = 2 Гц.
3. В момент t₁ координата равна x(t₁) = 0,04 cos(4πt₁ + π/3) м; для конкретного времени нужно подставить его значение в радианах.

Ответ: A = 0,04 м, T = 0,5 с, ν = 2 Гц, φ₀ = π/3, x(t₁) = 0,04 cos(4πt₁ + π/3) м.

Задача 2

Груз массой m прикреплён к пружине жёсткости k, причём в начальный момент x₀ и v₀ — его координата и скорость. Нужно найти закон движения, максимальную скорость и полную энергию. Начинаем с уравнения динамики, а затем подбираем параметры закона по начальным условиям.

1. Из ma = −kx получаем ω = √(k/m), поэтому x = A cos(ωt + φ₀).
2. Из x₀ = A cos φ₀ и v₀ = −ωA sin φ₀ следует A = √(x₀² + (v₀/ω)²), а фазу находят по этим двум соотношениям с учётом знаков.
3. Максимальная скорость vₘₐₓ = ωA, а энергия E = ½kA² = ½kx₀² + ½mv₀².

Ответ: x(t) = A cos(√(k/m)t + φ₀), где A и φ₀ определяются начальными условиями; vₘₐₓ = ωA, E = ½kA². Равенство двух выражений энергии подтверждает решение.

Задача 3

Математический маятник длины l отклонён на угол θ₀ и отпущен без начальной скорости. Найдём период, скорость и натяжение нити в момент, когда угол равен θ, считая колебания малыми. Отдельно отметим, где используется приближение малых углов.

1. Период малых колебаний T = 2π√(l/g); эта формула требует небольших углов отклонения, измеренных в радианах.
2. Из сохранения энергии mg l(1 − cos θ₀) = mg l(1 − cos θ) + ½mv² получаем v = √(2gl(cos θ − cos θ₀)).
3. В радиальном направлении T_н − mg cos θ = mv²/l, поэтому натяжение нити T_н = m(v²/l + g cos θ).

Ответ: T = 2π√(l/g), v = √(2gl(cos θ − cos θ₀)), T_н = m(v²/l + g cos θ). При больших амплитудах период отличается от приведённой формулы, поэтому результат нельзя применять безоговорочно.

Типичные ошибки

Подстановка градусов вместо радиан в аргумент синуса или косинуса меняет смысл числового аргумента. Ошибка возникает, когда угол из геометрии автоматически переносят в тригонометрическую запись колебаний. Проверяйте, что фаза и произведение ωt выражены в радианах.

Частоту ν иногда принимают за циклическую частоту ω, хотя ω = 2πν. Причина путаницы — обе величины характеризуют быстроту повторения движения, но измеряются и определяются по-разному. Проверьте наличие множителя 2π и сравните размерность: ν = 1/с, ω = рад/с.

Начальную фазу нельзя надёжно определить только по координате. Одно и то же x₀ может соответствовать движению вправо или влево, то есть разным знакам скорости. Используйте одновременно x₀ = A cos φ₀ и v₀ = −ωA sin φ₀.

Формулу периода маятника применяют к большим колебаниям, а для пружины забывают массу груза. Это происходит, когда знакомую формулу используют без проверки условий модели. Уточните амплитуду маятника и убедитесь, что в T = 2π√(m/k) взята вся колеблющаяся масса.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, закон Гука, работа и энергия. Тригонометрические функции описывают фазу, а перевод единиц СИ делает вычисления согласованными. Эти знания образуют основу математической модели колебаний.

Те же методы переходят к затухающим и вынужденным колебаниям, резонансу, механическим и электромагнитным волнам. Изменяются условия движения, но сохраняется идея уравнения с параметрами и начальными условиями. Поэтому уверенное решение простых задач облегчает изучение более сложных процессов.

Уравнение движения показывает, как система меняется во времени, а энергетический подход связывает её состояния. Сопоставляя оба описания с экспериментальными данными, можно проверить модель и обнаружить внешние потери энергии. Такой подход используется при исследовании реальных колебательных систем.

Что запомнить

• Сначала выбирают модель колебательной системы и положение равновесия.
• Параметры гармонического движения читают из уравнения или находят по начальным условиям.
• Период и частота связаны соотношением ν = 1/T, а циклическая частота — соотношением ω = 2πν.
• Амплитуда задаёт максимальное отклонение, но не определяет направление движения в начальный момент.
• Начальные координата и скорость однозначно определяют фазу гармонического колебания.
• Результат нужно проверять по единицам, знакам и физически возможным пределам величин.