"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Графики движения показывают, как физические величины меняются со временем, и помогают быстро находить их значения. При равномерном движении скорость постоянна, путь растёт прямо пропорционально времени, а координата меняется по линейному закону. По виду графиков можно определить направление движения, начальное положение тела, скорость и пройденный путь — важно лишь не путать координату с путём.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График скорости — графическое изображение зависимости скорости равномерного прямолинейного движения от времени. При постоянной скорости он представляет собой горизонтальную прямую: её высота показывает значение скорости. Такой график помогает узнать скорость в любой момент и сравнить движения тел.
График пути показывает, как меняется пройденный телом путь со временем. При равномерном движении путь возрастает прямо пропорционально времени: во сколько раз увеличилось время, во столько же раз увеличился путь. По этому графику удобно определять, какой путь тело прошло к выбранному моменту.
График координаты — изображение зависимости координаты тела от времени. Начальная координата x₀ задаёт положение графика при t = 0, а знак проекции скорости vₓ определяет, растёт координата или уменьшается. График нужен, чтобы проследить положение тела и установить, когда оно окажется в заданной точке.
Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянной скоростью, при котором координата изменяется по линейному закону. Линейный закон означает, что график координаты является прямой, хотя она не обязательно проходит через начало координат. Это понятие позволяет описывать движение формулами и сопоставлять их с графиками.
На графике скорости по горизонтальной оси откладывают время, а по вертикальной — скорость. При равномерном движении значение скорости остаётся одинаковым, сколько бы времени ни прошло, поэтому все точки графика имеют одну высоту. Соединив такие точки, получаем горизонтальную прямую; если скорость больше, прямая расположена выше. Так по ординате — значению на вертикальной оси — можно сразу прочитать скорость.
Путь при равномерном движении вычисляют по формуле s = vt. При постоянном v каждому значению времени соответствует путь, равный произведению времени на одно и то же число, поэтому зависимость линейная: s(t) — прямая. При t = 0 формула даёт s = 0, значит, график проходит через начало координат. Наклон прямой связан со скоростью: за одинаковое время более быстрое тело проходит больший путь, и его график поднимается круче.
Для координаты используют формулу x = x₀ + vₓt. При t = 0 слагаемое vₓt равно нулю, поэтому начальное значение графика равно x₀; именно эта величина задаёт точку пересечения прямой с вертикальной осью. Дальше координата изменяется на vₓ за каждую единицу времени, поэтому получается прямая. Если x₀ не равно нулю, график начинается не в начале координат, даже если движение равномерное.
Путь и координата описывают разные стороны движения. Путь — это длина пройденного участка, поэтому он не бывает отрицательным и при движении не уменьшается; координата же показывает положение относительно выбранной оси. Тело может двигаться в сторону уменьшения координаты, и тогда график x(t) опускается, хотя пройденный путь продолжает расти. Координата также может быть отрицательной, если тело находится по отрицательную сторону от начала оси.
На графике v(t) скорость находят по ординате выбранной точки, а на графике s(t) путь — по ординате при заданном времени. Для графика координаты важна не высота прямой сама по себе, а её наклон: vₓ = Δx/Δt. Это отношение показывает, на сколько изменилась координата за единицу времени. Возрастающая прямая означает положительную проекцию скорости, убывающая — отрицательную.
| Величина | Формула | Вид графика | Начальное значение | Что показывает наклон или положение графика |
|---|---|---|---|---|
| Скорость v(t) | v = const | Горизонтальная прямая | v(0) = v | Положение прямой по вертикали показывает постоянную скорость |
| Путь s(t) | s = vt | Прямая через начало координат | s(0) = 0 | Наклон связан со скоростью: чем он больше, тем быстрее движется тело |
| Координата x(t) | x = x₀ + vₓt | Прямая | x(0) = x₀ | Наклон равен проекции скорости vₓ |
| Знак скорости и направление движения | Знак vₓ | Наклон графика x(t) | Задаётся направлением оси | Положительный знак — движение вдоль оси, отрицательный — против неё |
| Изменение движения при vₓ > 0 и vₓ < 0 | x = x₀ + vₓt | Прямая поднимается или опускается | x₀ | При vₓ > 0 координата растёт, при vₓ < 0 — уменьшается |
Сначала выберите в таблице нужную величину и формулу, затем проверьте, какое значение она имеет в начальный момент. Для координаты направление изменения определяет знак vₓ, а для пути наклон всегда соответствует неотрицательной скорости. Чтобы не смешивать величины, сверяйте подписи вертикальной оси: на одном графике это может быть скорость, на другом — путь или координата.
Условие. Автомобиль движется равномерно со скоростью 10 м/с. Нужно построить график скорости от 0 до 6 с и определить скорость в момент 4 с. Поскольку скорость постоянна, искать её по формуле для каждого момента не требуется. Достаточно отметить одно и то же значение на всём временном промежутке.
Ответ: график — горизонтальная прямая v = 10 м/с на промежутке от 0 до 6 с; в момент 4 с скорость равна 10 м/с. Полученное значение не зависит от выбранного момента, так как движение равномерное. При построении важно указать единицы измерения обеих осей.
Условие. Тело движется со скоростью 3 м/с. Нужно построить график пути за 5 с и определить путь за 4 с. Здесь скорость задана, поэтому зависимость пути от времени можно сразу записать как s = vt. Путь отсчитывается от начала движения, следовательно, при t = 0 он равен нулю.
Ответ: график задаётся формулой s = 3t и проходит через начало координат; за 4 с тело проходит 12 м. Контрольная проверка: за 4 секунды тело движется со скоростью 3 м/с, значит, каждый из четырёх секунд добавляет по 3 м пути. Получается 3 + 3 + 3 + 3 = 12 м.
Условие. В начальный момент тело находится в точке x₀ = 5 м и движется с проекцией скорости vₓ = −2 м/с. Нужно построить график координаты за 6 с и найти момент прохождения начала координат. Отрицательная проекция означает, что координата уменьшается на 2 м каждую секунду. Поэтому прямая должна идти вниз, начиная с координаты 5 м.
Ответ: график задаётся формулой x = 5 − 2t, а тело проходит начало координат через 2,5 с. Это значение лежит между 2 и 3 с, что согласуется с построенным графиком: при 2 с координата ещё положительна, а к 3 с уже отрицательна. Путь при этом остаётся неотрицательным и не равен координате.
Иногда график пути проводят через точку с ненулевой начальной ординатой. Так происходит, когда путь путают с координатой или забывают, что отсчёт пути начинается с нуля: s(0) = 0. Проверьте себя подстановкой t = 0 в формулу s = vt; если график пути не проходит через начало координат, построение неверно.
Ещё одна ошибка — считать графики пути и координаты одинаковыми, ведь оба могут быть прямыми. Но путь неотрицателен и не убывает, а координата зависит от выбора начала и направления оси и может уменьшаться или быть отрицательной. Чтобы проверить, спросите себя, описывает ли вертикальная ось длину пройденного участка или положение тела относительно оси.
Отрицательную проекцию скорости иногда принимают за отрицательный путь. Знак vₓ указывает направление движения относительно оси, тогда как путь — длина и не может стать отрицательным. Проверьте смысл величины и формулу: для пути используют s = vt с модулем скорости, а в координатном законе учитывают знак vₓ.
Скорость на графике координаты ошибочно определяют по высоте прямой. Высота показывает координату в данный момент, а скорость показывает, насколько быстро она меняется, то есть задаётся наклоном графика. Для проверки выберите две точки и вычислите отношение Δx/Δt; это отношение должно соответствовать проекции скорости.
Для изучения графиков нужны координатный способ описания движения и формулы vₓ = const, s = vt, x = x₀ + vₓt. Они связывают движение с его математической записью и помогают строить графики по известным данным. Тема пригодится при чтении графиков, поиске времени и координаты, а также при изучении неравномерного движения. Позже графики скорости и координаты помогут ввести ускорение и анализировать равноускоренное движение.
Почему график скорости при равномерном движении не наклонён?
При равномерном движении скорость не меняется со временем. Поэтому для всех значений времени на графике откладывается одна и та же высота, и получается горизонтальная прямая.
Почему график пути обязательно проходит через начало координат?
Путь отсчитывают от начального положения тела, поэтому в момент начала отсчёта времени пройденный путь равен нулю: s(0) = 0. Если время отсчитывается с другого момента, нужно заново определить начальное значение пути для выбранного отсчёта.
Может ли график координаты опускаться вниз?
Да. Если проекция скорости отрицательна, координата со временем уменьшается, поэтому график x(t) наклонён вниз. Это означает движение в отрицательном направлении оси, а не уменьшение или отрицательное значение пройденного пути.
Как по графику координаты определить скорость?
Нужно найти наклон прямой: разделить изменение координаты на соответствующий промежуток времени, vₓ = Δx/Δt. Если прямая поднимается, проекция скорости положительна; если опускается — отрицательна.
Почему путь не может быть отрицательным, а координата может?
Путь показывает длину пройденного участка, а длина не бывает меньше нуля. Координата задаёт положение относительно выбранного начала и направления оси, поэтому может быть как положительной, так и отрицательной.
§ 1.6. График скорости равномерного прямолинейного движения. График пути. График координаты
