§ 2.5. Связь между ускорением и силой

Определения и обозначения

Второй закон Ньютона — закон, связывающий ускорение тела с равнодействующей приложенных сил и его массой. В векторной форме он записывается так: Fрез = ma. С его помощью можно рассчитать, как изменится движение тела.

Равнодействующая сил — векторная сумма всех сил, действующих на тело. Силы складывают с учётом их модулей и направлений, поэтому равнодействующая может быть больше, меньше или равна нулю. Именно она определяет общее действие сил.

Инерциальная система отсчёта — система отсчёта, в которой выполняется второй закон Ньютона. В ней свободное тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно. Выбор такой системы необходим для правильного применения формулы.

Масса тела — мера его инертности, то есть способности сопротивляться изменению скорости. Масса обозначается буквой m и измеряется в килограммах. Чем больше масса при той же силе, тем меньше ускорение.

Как это устроено

Изменение скорости нельзя связывать с одной выбранной силой, потому что на тело обычно действует сразу несколько сил. Например, на движущийся по столу брусок одновременно действуют сила тяги, сила трения, тяжесть и реакция опоры. Тяжесть и реакция опоры могут уравновешиваться, а сила тяги и трение определяют движение вдоль поверхности. Поэтому результат находят сложением всех сил как векторов.

Чтобы выяснить зависимость ускорения от силы, проводят опыты с одним и тем же телом, то есть сохраняют его массу. Если увеличить равнодействующую в 2 раза, ускорение также увеличится в 2 раза; при утроении силы утроится и ускорение. Значит, при постоянной массе ускорение прямо пропорционально равнодействующей: a ∼ Fрез.

Зависимость от массы исследуют иначе: оставляют одну и ту же равнодействующую, но изменяют массу тела. При увеличении массы в 2 раза ускорение уменьшается в 2 раза, а при увеличении массы в 3 раза — в 3 раза. Следовательно, при постоянной силе ускорение обратно пропорционально массе: a ∼ 1/m.

Обе зависимости объединяются в формуле Fрез = ma. Это векторное равенство: равнодействующая сила и ускорение имеют одинаковое направление, а их модули связаны соотношением Fрез = ma. Из него можно получить любую величину: a = Fрез/m, m = Fрез/a или Fрез = ma.

Если равнодействующая направлена вправо, ускорение также направлено вправо; если влево — влево. При торможении скорость направлена по движению, а ускорение — против скорости, поскольку оно уменьшает её модуль. Нулевое ускорение означает, что равнодействующая равна нулю, хотя отдельные силы при этом могут действовать.

Связь между равнодействующей силой, массой и ускорением

Сначала определите, какую величину нужно найти, а затем выберите соответствующую форму формулы. Если сил несколько, до подстановки в закон Ньютона найдите их равнодействующую.

График показывает прямую зависимость a от Fрез при фиксированной массе. Линия для меньшей массы получается круче, потому что одинаковое увеличение силы вызывает большее ускорение.

Разбор задач

Задача 1

На тело массой 4 кг действует равнодействующая сила 12 Н. Требуется найти ускорение и его направление. Направление ускорения заранее задаётся направлением равнодействующей.

1. Записываем второй закон Ньютона: a = Fрез/m.
2. Подставляем значения: a = 12 Н / 4 кг = 3 м/с².
3. Указываем направление: ускорение направлено так же, как равнодействующая сила.

Ответ: a = 3 м/с², ускорение направлено по равнодействующей силе.

Задача 2

На тело действуют две взаимно перпендикулярные силы 6 Н и 8 Н. Нужно найти ускорение тела, если его масса равна 5 кг. Перпендикулярные векторы образуют прямоугольный треугольник.

1. Находим модуль равнодействующей по теореме Пифагора: Fрез = √(6² + 8²) Н = 10 Н.
2. Направление равнодействующей задаётся диагональю между силами; угол к силе 6 Н можно найти из tg α = 8/6.
3. Вычисляем ускорение: a = Fрез/m = 10 Н / 5 кг = 2 м/с².

Ответ: a = 2 м/с²; направление — вдоль равнодействующей, между направлениями исходных сил.

Задача 3

Тело движется по горизонтали с ускорением 2 м/с², сила сопротивления равна 3 Н, масса — 6 кг. Требуется найти приложенную движущую силу. Выберем положительное направление по движению.

1. Равнодействующая по оси движения равна Fрез = ma = 6 кг · 2 м/с² = 12 Н.
2. Движущая сила направлена по оси, а сопротивление — против неё, поэтому Fрез = Fдв − Fсопр.
3. Выражаем неизвестную силу: Fдв = Fрез + Fсопр = 12 Н + 3 Н = 15 Н.

Ответ: приложенная движущая сила равна 15 Н и направлена по движению.

Типичные ошибки

Подстановка одной силы вместо равнодействующей возникает, когда забывают о совместном действии сил. Проверьте, перечислены ли все силы и сложены ли они с учётом направлений.

Некоторые направляют ускорение противоположно силе при любом движении. Так бывает только при торможении относительно скорости; ускорение всегда сонаправлено равнодействующей. Нарисуйте векторы и отдельно отметьте скорость.

Использование граммов или несогласованных единиц меняет численный результат. Перед вычислением переведите массу в килограммы, силу — в ньютоны, а ускорение выразите в м/с².

Запись F = ma для отдельной силы неверна, если другие силы не учтены. Формула относится к равнодействующей и применяется в инерциальной системе отсчёта. Полезная проверка — единица результата: Н/кг должна равняться м/с².

Связь с другими темами

Для работы с законом нужны понятия силы, массы, ускорения, вектора и правила сложения сил. Тема опирается на первый закон Ньютона: он помогает понять, когда равнодействующая равна нулю. Второй закон используют при составлении уравнений движения на наклонной плоскости, при изучении движения под действием силы тяжести и движения связанных тел.

Что запомнить

• Второй закон Ньютона выполняется в инерциальных системах отсчёта.
• Равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение: Fрез = ma.
• Ускорение прямо пропорционально равнодействующей силе.
• При постоянной силе ускорение обратно пропорционально массе.
• Ускорение направлено так же, как равнодействующая сила.
• В расчётах нужно использовать равнодействующую всех сил и согласованные единицы СИ.