§ 3.12. Деформация тел под действием силы тяжести и силы упругости

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Например, пружина растягивается, а резиновый жгут становится длиннее и тоньше. Это понятие нужно, чтобы описывать результат действия силы и выяснять, вернётся ли тело к прежнему состоянию.

Абсолютное удлинение — изменение длины при растяжении: Δl = l − l₀, где l₀ — начальная, а l — конечная длина. Величина показывает, на сколько метров или сантиметров тело стало длиннее. По ней непосредственно определяют изменение размера, например растяжение пружины.

Относительное удлинение — отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине: ε = Δl/l₀. Оно не имеет единиц измерения и часто выражается в долях или процентах. Такая величина позволяет сравнивать деформацию коротких и длинных тел из одного материала.

Модуль Юнга — характеристика упругих свойств материала, связывающая механическое напряжение с относительной деформацией: E = σ/ε. Чем больше E, тем труднее растянуть или сжать материал при одинаковой нагрузке. Модуль Юнга измеряется в паскалях и используется в расчётах прочности.

Как это устроено

Если тело подвесить вертикально, сила тяжести действует на каждую его частицу и направлена вниз. Нижние частицы тянут за собой соседние участки, поэтому в теле возникают внутренние силы, передающие нагрузку к верхнему закреплению. В результате расстояния между частицами немного меняются, и тело растягивается; при сжатии аналогично изменяются расстояния в обратную сторону.

Деформация изменяет взаимодействие частиц тела, и между ними появляется сила упругости. Она направлена так, чтобы препятствовать деформации: при растяжении действует внутрь тела, а при сжатии — наружу. Если подвешенный груз покоится, его ускорение равно нулю, поэтому сила упругости со стороны пружины или подвеса уравновешивает силу тяжести: Fупр = mg.

Вертикальный стержень или проволока растягиваются неодинаково по длине, потому что разные сечения несут разную нагрузку. Нижнее сечение поддерживает только часть тела, расположенную ниже него, а верхнее — почти весь стержень и груз. Поэтому у верхних участков больше сила растяжения, механическое напряжение и удлинение малых отрезков, чем у нижних.

В области упругих деформаций механическое напряжение σ = F/S пропорционально относительному удлинению ε. Коэффициент пропорциональности называют модулем Юнга: σ = Eε, или ε = σ/E. Закон справедлив, пока материал не вышел за предел упругости; после этого деформация может стать необратимой, а зависимость перестаёт быть линейной.

Для пружины с жёсткостью k закон Гука записывают как Fупр = kΔl. В равновесии подвешенного груза Fупр = mg, поэтому Δl = mg/k. Для однородной проволоки при постоянной силе используют Δl = FL/(ES), а если учитывать собственный вес вертикального тела, складывают удлинения малых участков, поскольку сила меняется по длине.

Величины и зависимости при упругой деформации

Сначала определите, какая модель подходит: пружина описывается жёсткостью k, а проволока или стержень — площадью сечения S, длиной L и модулем Юнга E. Затем проверьте, известна ли сила целиком или её нужно найти через mg. Для собственного веса нельзя сразу считать силу одинаковой по всему телу: используется последняя формула, полученная с учётом изменения нагрузки.

Разбор задач

Задача 1. Растяжение пружины

К вертикальной пружине жёсткостью 200 Н/м подвесили груз массой 0,5 кг. Найдём удлинение в состоянии равновесия, принимая g = 10 Н/кг. Поскольку груз покоится, сила упругости пружины равна силе тяжести.

1. Запишем условие равновесия: kΔl = mg.
2. Выразим удлинение: Δl = mg/k.
3. Подставим значения: Δl = 0,5 · 10 / 200 = 0,025 м.

Ответ: удлинение пружины равно 0,025 м, или 2,5 см.

Задача 2. Растяжение стальной проволоки

Стальная проволока длиной 2 м и площадью сечения 1 мм² растянута грузом массой 10 кг. Модуль Юнга стали E = 2·10¹¹ Па. Переведём площадь в СИ: 1 мм² = 10⁻⁶ м², а силу груза найдём как F = mg = 100 Н.

1. Используем формулу для проволоки: Δl = FL/(ES).
2. Подставим данные: Δl = 100 · 2 / (2·10¹¹ · 10⁻⁶).
3. Получим Δl = 10⁻³ м.

Ответ: проволока удлинится на 0,001 м, или 1 мм.

Задача 3. Собственный вес стержня

Однородный вертикальный стержень длиной L, площадью сечения S и плотностью ρ закреплён за верхний конец. Требуется найти удлинение от собственного веса. Нагрузка на сечение зависит от расстояния до нижнего конца, поэтому весь стержень нельзя считать растянутым одной силой.

1. Выделим малый участок на расстоянии x от нижнего конца. Ниже него находится объём Sx и масса ρSx.
2. Сила, растягивающая этот участок, равна весу нижней части: F(x) = ρSxg.
3. Для участка длиной dx относительное удлинение равно F(x)/(ES), поэтому d l = ρgx dx/E.
4. Сложим удлинения от x = 0 до x = L: Δl = ∫₀ᴸ ρgx/E dx = ρgL²/(2E).

Ответ: удлинение стержня под действием собственного веса равно Δl = ρgL²/(2E); площадь сечения в итоговую формулу не входит.

Типичные ошибки

Считать, что сила упругости всегда равна силе тяжести, неверно: это условие равновесия, а не универсальное правило. Ошибка возникает, когда забывают о втором законе Ньютона и возможном ускорении. Проверьте себя: если тело движется с ускорением, запишите уравнение сил, а не сразу ставьте Fупр = mg.

Нельзя подставлять длину вместо площади сечения и смешивать абсолютное удлинение с относительным. У величин разные обозначения, единицы и физический смысл: Δl измеряется в метрах, а ε безразмерно. Перед вычислением выпишите формулу и проверьте единицы всех величин.

Закон Гука нельзя применять при любой нагрузке. После выхода за предел упругости материал деформируется необратимо, поэтому пропорциональность силы и удлинения нарушается. Уточните, что тело работает в области упругих деформаций, и сравните нагрузку с допустимой.

Нагрузка в вертикальном стержне не одинакова по всей длине, если учитывается его вес. Нижний участок поддерживает меньше материала, чем верхний, поэтому использование одной и той же силы даёт ошибку. Разрежьте тело мысленно сечением и определите вес части, расположенной ниже этого сечения.

Связь с другими темами

Для изучения деформации нужны второй закон Ньютона, условия равновесия, сила тяжести, сила упругости и закон Гука. Второй закон помогает составить уравнение движения, а условие равновесия объясняет равенство сил у покоящегося груза. Закон Гука связывает найденную силу с изменением длины.

Знания о деформации применяют при расчёте тросов, пружин, мостов и других инженерных конструкций. Инженер должен учитывать не только вес груза, но и вес самой детали, распределение напряжений и свойства материала. Это позволяет выбрать безопасные размеры и не допустить разрушения.

Что запомнить

• Деформация — изменение формы или размеров тела.
• При упругой деформации тело восстанавливает исходную форму после снятия нагрузки.
• Сила упругости направлена противоположно деформации.
• В состоянии равновесия сила упругости подвешенного тела уравновешивает силу тяжести.
• Механическое напряжение равно отношению силы к площади поперечного сечения: σ = F/S.
• Модуль Юнга характеризует сопротивление материала растяжению или сжатию.
• При деформации под действием собственного веса нагрузка изменяется вдоль тела.