"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Когда тело движется в воде или воздухе, среда мешает его движению: возникает сила сопротивления. Её величина зависит от скорости, свойств жидкости или газа, а также от формы и размеров тела. При медленном ламинарном движении сопротивление может быть пропорционально скорости, а при быстром движении с вихрями — примерно квадрату скорости. Поэтому для расчёта силы сначала определяют режим движения и лишь затем выбирают формулу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила сопротивления — сила, с которой жидкость или газ действуют на движущееся в них тело. Она направлена против движения тела относительно среды, поэтому при расчёте важно учитывать не только скорость тела, но и скорость самого воздуха или воды. Эта сила меняет движение тела и может уменьшать его скорость.
Вязкость — свойство жидкости или газа, связанное с внутренним трением между соседними слоями среды. Если слои движутся с разными скоростями, они взаимодействуют и передают друг другу движение. Поэтому вязкость влияет на сопротивление, особенно при медленном ламинарном течении.
Ламинарное течение — упорядоченное движение среды слоями, без сильных вихрей и перемешивания. При небольших скоростях и подходящих условиях сопротивление в таком режиме может быть пропорционально скорости тела. Это позволяет использовать линейный закон, но только для соответствующей модели движения.
Турбулентное течение — движение среды с вихрями и интенсивным перемешиванием. При таком обтекании сопротивление часто приблизительно пропорционально квадрату скорости, поскольку с её ростом сильнее меняется движение большого объёма среды. Режим нужен, чтобы выбрать подходящую формулу для оценки силы.
Двигаясь, тело оттесняет окружающую среду и увлекает за собой её частицы. Чтобы обогнуть тело, жидкость или газ должны изменить скорость и направление движения, а сами частицы взаимодействуют друг с другом. В результате среда действует на тело силой, направленной против его движения относительно неё. Если тело движется в потоке, важна именно относительная скорость, а не скорость тела относительно берега.
Сила сопротивления определяется не одной скоростью. Вязкость влияет на внутреннее трение между слоями, а плотность показывает, сколько вещества приходится на единицу объёма среды и сколько её приходится оттеснять телу. Кроме того, поток по-разному обтекает тела разной формы, а размеры и площадь поперечного сечения влияют на взаимодействие со средой. Поэтому одинаковые тела при одной скорости могут испытывать разные силы в воздухе и воде.
При малой скорости поток может оставаться упорядоченным, а главным механизмом сопротивления становится вязкое взаимодействие слоёв. Для шара, медленно движущегося в вязкой жидкости, применяют закон Стокса: F = 6πηrv, где η — вязкость жидкости, r — радиус шара, v — скорость шара относительно жидкости. Из формулы видно, что при неизменных свойствах жидкости и размере шара сила растёт прямо пропорционально скорости. Закон относится именно к медленному ламинарному движению шара.
При больших скоростях обтекание часто становится неупорядоченным: за телом появляются вихри, и среда перемешивается. Для такого режима силу сопротивления нередко оценивают по формуле F ≈ CρSv²/2, где C — коэффициент сопротивления, ρ — плотность среды, S — площадь поперечного сечения тела. Здесь квадрат скорости означает, что при увеличении скорости вдвое сила возрастает примерно в четыре раза. Формула даёт приближённую оценку, а коэффициент зависит от формы тела и характера потока.
Переход от одного режима к другому зависит не только от скорости, но и от вязкости и плотности среды, размеров и формы тела. Поэтому одна и та же зависимость не описывает сопротивление при любых условиях: для медленного движения шара подходит закон Стокса, а для быстрого обтекания часто используют квадратичную оценку. Перед расчётом нужно проверить, соответствует ли выбранная модель задаче. Если режим неизвестен, нельзя без обоснования считать силу ни линейной, ни квадратичной функцией скорости.
Сравнивайте столбцы, чтобы увидеть, как режим потока меняет зависимость силы от скорости и роль свойств среды. Примеры в последней строке указывают типичные ситуации, но сами по себе не заменяют проверку условий задачи.
| Характеристика | Ламинарный режим при малых скоростях | Турбулентный режим при больших скоростях |
|---|---|---|
| Характер движения среды | Упорядоченное движение слоями, без сильных вихрей. | Вихри и интенсивное перемешивание потока. |
| Зависимость силы сопротивления от скорости | При соответствующих условиях пропорциональна скорости: F ∝ v. | Часто приблизительно пропорциональна квадрату скорости: F ∝ v². |
| Какие свойства среды существенны | Особенно важна вязкость среды. | Заметную роль играет плотность среды; учитывают также коэффициент сопротивления. |
| От чего зависит сила помимо скорости | От вязкости, размера и формы тела; для шара — от радиуса. | От плотности, площади поперечного сечения и формы тела. |
| Пример применимости | Медленное движение небольшого шара в вязкой жидкости. | Быстрое движение тела в воздухе или воде при вихревом обтекании. |
Шар радиусом r = 0,010 м движется в жидкости со скоростью v = 0,020 м/с. Динамическая вязкость жидкости равна η = 1,0 Па·с. Найдём силу сопротивления, считая движение медленным и ламинарным. Значения подобраны для иллюстрации расчёта по закону Стокса.
Ответ: сила сопротивления приблизительно равна 3,8 · 10⁻³ Н. Если скорость или размеры шара настолько велики, что обтекание перестаёт быть ламинарным, эту модель нужно пересмотреть.
Тело движется в среде сначала со скоростью v₁ = 0,30 м/с, а затем со скоростью v₂ = 0,90 м/с. Считайте, что в обоих случаях сохраняется режим, в котором сопротивление пропорционально скорости. Требуется сравнить силы, не зная значения коэффициента пропорциональности.
Ответ: F₂ = 3F₁. Вывод справедлив, только если обе скорости соответствуют одному линейному режиму и свойства среды не изменились.
Тело движется в воздухе со скоростью v = 10 м/с. Даны плотность воздуха ρ = 1,2 кг/м³, площадь поперечного сечения S = 0,50 м² и коэффициент сопротивления C = 0,80. Оценим силу по квадратичному закону, а затем выясним, как она изменится при увеличении скорости в 2 раза. Считаем, что режим движения и коэффициент C остаются прежними.
Ответ: при скорости 10 м/с сила составляет примерно 24 Н, а при скорости 20 м/с — примерно 96 Н. Умножать силу на четыре допустимо, если условия обтекания и коэффициент сопротивления существенно не изменились.
Направлять силу сопротивления по движению тела. Так ошибаются, когда смешивают силу, поддерживающую движение, с силой со стороны среды. Сопротивление противодействует относительному движению тела и среды. Проверьте себя: если тело движется вправо относительно неподвижного воздуха, сопротивление направлено влево.
Считать, что сопротивление всегда пропорционально скорости. Линейный закон применим лишь в подходящем режиме, поэтому переносить его на быстрое вихревое движение нельзя. Сравните условия задачи с предположениями выбранной модели. Если рассматривается быстрое обтекание, проверьте, не требуется ли квадратичная зависимость.
Путать линейную и квадратичную зависимости. При удвоении скорости линейная модель даёт увеличение силы примерно вдвое, а квадратичная — примерно вчетверо. Ошибка возникает, если забыть возвести скорость в квадрат. Проверьте формулу и подставьте отношение скоростей: при v₂/v₁ = 2 результат должен составить 2 или 4 в зависимости от режима.
Применять закон Стокса к любому телу и любой скорости. Формула выведена для шара, медленно движущегося в вязкой жидкости при ламинарном обтекании. Удобство формулы не отменяет проверки её условий. Убедитесь, что форма тела, скорость и режим подходят; иначе следует выбрать другую модель сопротивления.
Для разбора сопротивления понадобятся второй закон Ньютона, понятия силы, скорости и ускорения: сила среды входит в равнодействующую и влияет на изменение скорости. Эти знания помогают объяснить падение тела в воздухе, когда сопротивление растёт и скорость может приблизиться к предельной. Та же тема нужна при анализе движения транспорта и снарядов, а также при дальнейшем изучении движения жидкостей и газов. В практических задачах выбор модели зависит от того, как тело взаимодействует со средой.
Почему сила сопротивления направлена против движения?
При движении тело взаимодействует с окружающей средой и увлекает её за собой. Среда противодействует изменению своего движения, поэтому сила сопротивления направлена против скорости тела относительно среды.
От чего зависит сопротивление воздуха или воды?
Оно зависит от относительной скорости тела и среды, их свойств, а также от формы и размеров тела. В медленном ламинарном режиме особенно существенна вязкость, а при быстром обтекании заметную роль обычно играет плотность среды.
Когда можно применять закон Стокса?
Закон Стокса F = 6πηrv применяют для медленного движения небольшого шара в вязкой жидкости при ламинарном обтекании. Для тел другой формы или при больших скоростях его нельзя использовать без проверки условий применимости.
Почему при больших скоростях сопротивление растёт быстрее?
При быстром движении за телом могут возникать вихри, а поток сильнее перемешивается. В таком режиме сопротивление часто приблизительно пропорционально квадрату скорости, поэтому увеличение скорости вдвое может увеличить силу примерно в четыре раза.
Всегда ли сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости?
Нет, зависимость определяется режимом движения и условиями обтекания. При малых скоростях в ламинарном режиме сила может быть пропорциональна скорости, а квадратичная зависимость часто подходит для быстрого движения с вихреобразованием.
§ 3.15. Сила сопротивления при движении тел в жидкостях и газах
