§ 3.16. Установившееся движение тел в вязкой среде

Определения и обозначения

Установившееся движение — движение, при котором скорость тела постоянна. Значит, ускорение равно нулю, а по второму закону Ньютона равнодействующая всех сил также равна нулю. Это не означает отсутствия сил: они действуют, но взаимно компенсируются.

Сила сопротивления вязкой среды — сила, возникающая при движении тела относительно жидкости или газа и направленная против относительной скорости. Для медленного движения небольшого шара её величина увеличивается вместе со скоростью. Это позволяет объяснить, почему разгон тела в жидкости постепенно прекращается.

Закон Стокса задаёт силу сопротивления медленно движущегося шара: Fсопр = 6πηrv. Здесь η — коэффициент вязкости среды, r — радиус шара, а v — его скорость относительно жидкости. Формула нужна для расчёта сопротивления и установившейся скорости.

Скорость установившегося движения — постоянная скорость, при которой сопротивление уравновешивает результирующую силу тяжести и архимедовой силы. Если шар плотнее жидкости, он движется вниз, а если легче — вверх. Обозначают эту скорость обычно vуст.

Как это устроено

В момент начала движения шар почти неподвижен относительно жидкости, поэтому сила сопротивления мала. Если шар плотнее жидкости, сила тяжести превышает архимедову силу и направляет его вниз; для лёгкого шара направление результирующей силы будет вверх. Эта неуравновешенная сила сообщает телу ускорение, и его скорость начинает расти.

С увеличением скорости слои жидкости сильнее взаимодействуют с поверхностью шара. Поэтому сопротивление возрастает: в режиме Стокса оно прямо пропорционально скорости, Fсопр = 6πηrv. Направление сопротивления всегда противоположно скорости тела относительно среды, так что оно уменьшает действие результирующей силы.

Пока сопротивление меньше результирующей силы тяжести и архимедовой силы, равнодействующая направлена по движению и тело ускоряется. Но сопротивление растёт вместе со скоростью, поэтому разность сил становится меньше. Ускорение уменьшается, хотя скорость ещё может продолжать увеличиваться.

Наконец, сопротивление становится равным по модулю результирующей силе тяжести и архимедовой силы. Тогда равнодействующая равна нулю, ускорение исчезает, а скорость сохраняет постоянное значение. Такое состояние называют установившимся движением, или установившимся падением либо подъёмом.

Для падающего шара плотностью ρш в жидкости плотностью ρж сила, вызывающая движение вниз, равна mg − FА. Подставляя mg = 4/3πr³ρшg и FА = 4/3πr³ρжg, получаем 4/3πr³(ρш − ρж)g. При установившемся движении эта сила равна 6πηrv.

После сокращения общих множителей получаем формулу vуст = 2r²(ρш − ρж)g/(9η) для падающего шара. Скорость увеличивается с квадратом радиуса и разностью плотностей, а с ростом вязкости уменьшается. Формула справедлива только при медленном движении небольшого шара, когда применим закон Стокса; при быстром или турбулентном течении сопротивление описывается иначе.

Силы и скорость установившегося движения шара в вязкой жидкости

Сначала определите направление движения и изобразите силы вдоль одной оси. Затем используйте условие равенства сил в направлении движения, не забывая, что сопротивление направлено противоположно скорости.

В последнем столбце указана именно величина скорости. Для поднимающегося шара разность плотностей берут в порядке ρж − ρш, чтобы скорость получилась положительной.

Разбор задач

1. Равномерно падающий шар

На шар действуют сила тяжести и сила сопротивления, а движение является установившимся. Требуется найти одну из сил, если известна другая. Архимедову силу в условии не учитываем, потому что задача прямо называет только эти две силы.

1. При постоянной скорости ускорение равно нулю, поэтому равнодействующая сил должна быть нулевой.
2. Сила тяжести направлена вниз, сопротивление — вверх, значит, их модули равны: Fсопр = mg.
3. Если известна сила тяжести, сопротивление имеет тот же модуль; если известно сопротивление, такой же будет сила тяжести.

Ответ: неизвестная сила равна известной по модулю, потому что при установившемся падении эти силы уравновешиваются.

2. Скорость падающего шара

Пусть шар имеет радиус r и плотность ρш, а жидкость — плотность ρж и вязкость η. Шар плотнее жидкости, поэтому падает, а его установившаяся скорость находится из равенства сопротивления и разности силы тяжести с архимедовой силой.

1. Записываем силу сопротивления по закону Стокса: Fсопр = 6πηrv.
2. Находим движущую силу: mg − FА = 4/3πr³(ρш − ρж)g.
3. При установившемся движении приравниваем выражения: 6πηrvуст = 4/3πr³(ρш − ρж)g.
4. Сокращаем π и r и получаем vуст = 2r²(ρш − ρж)g/(9η).

Ответ: скорость установившегося падения равна 2r²(ρш − ρж)g/(9η). Если плотность шара меньше плотности жидкости, используют модуль разности плотностей и говорят о подъёме.

3. Сравнение скоростей

Для двух шаров в одинаковых условиях не нужно каждый раз выполнять полный расчёт. Достаточно использовать зависимость vуст ∝ r²/η, если разность плотностей и g одинаковы. Например, увеличение радиуса в два раза увеличивает скорость в четыре раза.

1. Записываем отношение скоростей: v₁/v₂ = (r₁/r₂)² · (η₂/η₁).
2. Если жидкости одинаковы, η₁ = η₂, поэтому сравниваем квадраты радиусов.
3. Если радиусы одинаковы, скорость обратно пропорциональна вязкости: более вязкая жидкость даёт меньшую скорость.

Ответ: скорость растёт как квадрат радиуса и уменьшается обратно пропорционально вязкости. Такой способ сравнения применим только в пределах действия закона Стокса.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при установившемся движении на тело не действуют силы. Так думают из-за постоянной скорости, но постоянной является равнодействующая, а не каждая сила. Проверьте себя: перечислите силы и убедитесь, что их векторная сумма равна нулю.

Ошибка: уравновешивать сопротивлением всю силу тяжести. Архимедова сила тоже действует на шар и уменьшает результирующую силу при падении. Записывайте сначала mg − FА, а уже затем приравнивайте результат к сопротивлению.

Ошибка: направлять сопротивление в сторону движения. Сила сопротивления всегда противоположна скорости тела относительно среды, поэтому при подъёме она направлена вниз, а при падении — вверх. Полезно сначала указать стрелкой скорость, а затем направить сопротивление в обратную сторону.

Ошибка: применять закон Стокса при любых скоростях и размерах. Формула получена для медленного движения небольшого шара в вязкой среде и спокойного обтекания. Перед расчётом проверьте, соответствует ли условие этой модели.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны второй закон Ньютона, формула силы тяжести и закон Архимеда. Установившееся движение связывает равномерное движение с равновесием сил, но показывает, как такое равновесие возникает в реальной среде.

Эти понятия применяются при изучении сопротивления среды, движения тел в жидкостях и газах, а также в опытах по определению вязкости. По скорости установившегося падения можно, например, оценить свойства неизвестной жидкости.

Что запомнить

• При установившемся движении скорость постоянна, а ускорение равно нулю.
• Равнодействующая всех сил при установившемся движении равна нулю.
• Сила сопротивления направлена против скорости тела относительно среды.
• Для медленно движущегося шара сила Стокса пропорциональна вязкости, радиусу шара и скорости: Fсопр = 6πηrv.
• Установившаяся скорость возникает, когда сопротивление уравновешивает результирующую силу тяжести и архимедовой силы.
• Для падающего шара скорость по закону Стокса растёт с квадратом радиуса и уменьшается с ростом вязкости.