"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Любые тела с массой притягиваются друг к другу — это взаимодействие называют всемирным тяготением. Закон Ньютона позволяет вычислить силу притяжения по массам тел и расстоянию между их центрами. Он объясняет движение планет и спутников, а также помогает понять, почему на Земле тела испытывают силу тяжести. Главное — правильно выбрать расстояние, учесть квадрат в формуле и направление силы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения любых двух тел, обладающих массой. Это взаимодействие существует и без соприкосновения тел. Понятие помогает описывать, например, притяжение Земли и Луны.
Закон всемирного тяготения — зависимость силы притяжения от масс тел и расстояния между их центрами. Он позволяет вычислить силу, если известны эти величины. Поэтому закон применяют и к небесным телам, и к задачам о спутниках.
Гравитационная постоянная — коэффициент G, характеризующий интенсивность гравитационного взаимодействия. Её значение одинаково для тел разной природы и определяется экспериментально. Без этого коэффициента нельзя связать массы и расстояние с численным значением силы.
Материальная точка — модель тела, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до другого тела. В расчёте массу такого тела считают сосредоточенной в одной точке. Эта модель упрощает задачу, когда размеры не влияют заметно на результат.
Тяготение называют взаимодействием на расстоянии: тела могут влиять друг на друга, даже если между ними нет контакта. Масса тела связана с его гравитационным взаимодействием, поэтому наличие массы означает, что тело участвует в притяжении. Направление силы задаётся взаимным расположением тел: она действует вдоль прямой, соединяющей их центры, и направлена к другому телу.
Если расстояние между телами оставить неизменным, увеличение массы одного тела усиливает притяжение в такой же пропорции. Например, масса в три раза больше создаёт силу в три раза больше. То же верно для второй массы: зависимость от каждой из них линейная, поэтому совместно сила пропорциональна произведению m₁m₂.
Опыт показывает, что при неизменных массах сила быстро ослабевает с расстоянием: она обратно пропорциональна его квадрату. Если расстояние увеличить вдвое, квадрат расстояния вырастет в четыре раза, и сила станет в четыре раза меньше. График показывает эту зависимость при сравнении с исходной силой F₀ и расстоянием r₀.
Объединив обе зависимости, получают закон всемирного тяготения: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — модуль силы, m₁ и m₂ — массы тел, r — расстояние между их центрами, а G — гравитационная постоянная. В СИ G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг²; массы подставляют в килограммах, расстояние — в метрах, тогда сила получается в ньютонах.
Каждое тело притягивает другое, поэтому возникают две силы: одна действует на первое тело, другая — на второе. По третьему закону Ньютона они равны по модулю и направлены противоположно, хотя приложены к разным телам. Для шарообразных тел с симметричным распределением массы расстояние r измеряют между центрами, а для малых относительно расстояния тел их часто моделируют материальными точками.
| Величина | Обозначение | Физический смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Сила всемирного тяготения | F | Сила взаимного притяжения тел | Н |
| Масса первого тела | m₁ | Мера инертности и гравитационного взаимодействия первого тела | кг |
| Масса второго тела | m₂ | Мера инертности и гравитационного взаимодействия второго тела | кг |
| Расстояние между центрами тел | r | Расстояние, определяющее величину силы | м |
| Гравитационная постоянная | G | Коэффициент пропорциональности в законе тяготения | Н·м²/кг² |
Сначала определите, какие тела взаимодействуют, и запишите их массы и расстояние между центрами. Затем проверьте единицы: в формулу подставляют килограммы и метры. По таблице удобно сверить обозначения и единицы величин.
Задача 1. Как изменится сила, если массу одного тела увеличить в 3 раза, а расстояние между телами — в 2 раза? Здесь важно сравнить новую силу с исходной, поэтому численное значение G знать не требуется. Обозначим первоначальную силу F.
Ответ: сила станет равна ¾ первоначальной, то есть уменьшится на четверть.
Задача 2. Найдём притяжение Земли и спутника массой 1000 кг, если масса Земли равна 5,97·10²⁴ кг, а расстояние от центра Земли до спутника — 7,0·10⁶ м. Значения заданы в СИ, поэтому перевод единиц не нужен. Нужно подставить данные в закон и аккуратно вычислить квадрат расстояния.
Ответ: примерно 8100 Н. При расчёте нельзя подменять расстояние от центра расстоянием от поверхности Земли.
Задача 3. На тело действуют силы притяжения 6 Н и 8 Н со стороны двух тел. Найдём равнодействующую, если сначала тела расположены на одной прямой по одну сторону от рассматриваемого тела, а затем направления сил образуют прямой угол. Массы и расстояния для вычисления каждой силы уже учтены в указанных значениях.
Ответ: 14 Н при одинаковом направлении сил и 10 Н при угле 90°. Сначала находят каждую силу, а затем складывают их как векторы.
Подстановка расстояния между ближайшими поверхностями вместо расстояния между центрами завышает силу, потому что в формуле требуется именно r между центрами. Так ошибаются, когда мысленно измеряют промежуток между телами. Перед вычислением отметьте центры на схеме и измерьте расстояние между ними.
Если забыть квадрат расстояния, получится неверная зависимость: сила уменьшается не обратно пропорционально r, а обратно пропорционально r². Ошибка часто возникает при переписывании формулы или сравнении двух случаев. Проверьте себя на простом примере: удвоение r должно уменьшить силу в четыре раза.
Гравитационная сила направлена к притягивающему телу, а не от него. Направление иногда путают с направлением движения или с условным выбором оси. Нарисуйте стрелку от рассматриваемого тела к другому центру и отдельно проверьте, какое тело испытывает силу.
Подстановка граммов и километров без перевода в СИ даёт ошибочный численный ответ, поскольку G задана в единицах СИ. Такие единицы легко пропустить, если числа уже выглядят удобными для вычисления. Перед подстановкой выпишите массы в килограммах, расстояние в метрах и проверьте единицы результата.
Для работы с законом нужны второй и третий законы Ньютона, векторное сложение сил, понимание массы и единиц СИ. Закон тяготения объясняет орбитальное движение планет и спутников и позволяет рассчитывать первую космическую скорость. Вблизи поверхности Земли сила тяжести — проявление гравитационного взаимодействия Земли и тела.
Почему тела притягиваются, хотя могут не соприкасаться?
Гравитационное взаимодействие действует между телами с массой и не требует их контакта. Поэтому Земля притягивает Луну и спутники на расстоянии, а не только предметы, касающиеся её поверхности.
Почему в формуле расстояние возводится в квадрат?
Так установлено экспериментально: при неизменных массах сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Например, если расстояние увеличить вдвое, сила станет в четыре раза меньше.
Какое расстояние нужно брать между двумя протяжёнными телами?
Для шарообразных тел с симметричным распределением массы берут расстояние между их центрами. Расстояние между ближайшими поверхностями в формулу подставлять нельзя.
Почему сила притяжения Земли к телу и тела к Земле одинакова?
По третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению. Различие в движении возникает потому, что массы Земли и тела неодинаковы, а значит, неодинаковы их ускорения.
Когда тело можно считать материальной точкой при расчёте силы тяготения?
Так делают, когда размерами тела можно пренебречь по сравнению с расстоянием до другого тела. Тогда всю массу считают сосредоточенной в одной точке, и расчёт становится проще.
§ 3.2. Сила всемирного тяготения
