§ 3.3. Гравитационная постоянная

Определения и обозначения

Гравитационная постоянная G — коэффициент пропорциональности в законе всемирного тяготения. Она одинакова для любых тел и численно равна силе притяжения двух тел массой 1 кг на расстоянии 1 м между центрами. Эта величина нужна, чтобы связать массы тел и расстояние с реально действующей силой.

Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами: F = Gm₁m₂/r². Формула позволяет рассчитывать взаимодействие планет, спутников и обычных тел.

Крутильные весы — прибор, в котором силу взаимодействия определяют по углу закручивания упругой нити. Чем больше сила, тем сильнее поворачивается подвешенная система. Такой способ подходит для измерения очень слабого притяжения.

Опыт Кавендиша — экспериментальное определение гравитационной постоянной с помощью крутильных весов. Его результат позволил впервые количественно оценить силу притяжения между обычными шарами.

Как это устроено

В законе тяготения одного отношения масс и расстояния недостаточно: нужно установить, как эти величины связаны с единицей силы. Поэтому в формулу вводят постоянный коэффициент G. Он задаёт масштаб гравитационного взаимодействия и не зависит от выбранной пары тел.

Из формулы F = Gm₁m₂/r² видно, что G можно выразить так: G = Fr²/(m₁m₂). Значит, единица G в СИ — Н·м²/кг². Такая размерность показывает, какая сила приходится на тела заданных масс при заданном расстоянии.

Притяжение небольших шаров трудно заметить, потому что их массы невелики, а G имеет очень малое значение. В опыте Кавендиша два лёгких шара закрепляли на концах стержня, подвешенного на тонкой упругой нити. Рядом размещали более тяжёлые шары, и их притяжение создавало поворачивающий момент.

Стержень поворачивался, а нить закручивалась до тех пор, пока сила упругости нити не уравновешивала момент тяготения. По углу закручивания находили силу взаимодействия: чем больше угол, тем больше сила. Затем измеренные массы и расстояния подставляли в закон тяготения и вычисляли G.

G одинаково для любых тел, поскольку это фундаментальная постоянная, характеризующая гравитационное взаимодействие. Сама сила всё же меняется: увеличение любой массы усиливает притяжение, а увеличение расстояния ослабляет его. Расстояние влияет особенно заметно, потому что входит в формулу в квадрате.

Числовое значение G примерно равно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Это очень маленькое число показывает слабость гравитационного взаимодействия между телами земных размеров. На уровне планет оно становится значительным благодаря огромным массам.

Величины закона всемирного тяготения и их характеристики

Сначала определите, какую величину требуется найти, а затем выберите соответствующую формулу. Проверьте, что массы выражены в килограммах, расстояние — в метрах, а сила — в ньютонах.

Таблица помогает увидеть зависимости: масса находится в числителе, а расстояние — в знаменателе и возводится в квадрат. Поэтому изменение расстояния нужно учитывать сильнее, чем такое же по кратности изменение одной массы.

Разбор задач

Задача 1. Прямая подстановка

Найти силу притяжения тел массами 100 кг и 200 кг, если расстояние между их центрами равно 2 м. Используем G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Все данные уже заданы в единицах СИ.

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r².
2. Вычисляем квадрат расстояния: r² = 2² = 4 м².
3. Подставляем значения: F = 6,67·10⁻¹¹·100·200/4 Н.
4. Сначала находим отношение масс к квадрату расстояния: 100·200/4 = 5000.
5. Получаем F = 3,335·10⁻⁷ Н.

Ответ: сила притяжения равна примерно 3,3·10⁻⁷ Н. Она мала, что согласуется со слабостью гравитации обычных тел.

Задача 2. Нахождение расстояния

Пусть массы тел m₁ и m₂, сила F и одна из масс известны, а требуется найти расстояние. Расстояние нельзя оставлять под квадратом, поэтому формулу нужно преобразовать. Искомое значение берём положительным, поскольку расстояние не бывает отрицательным.

1. Начинаем с F = Gm₁m₂/r².
2. Умножаем обе части на r² и делим на F: r² = Gm₁m₂/F.
3. Извлекаем квадратный корень: r = √(Gm₁m₂/F).
4. Подставляем известные величины, предварительно переведя их в СИ.
5. Проверяем результат: при большей силе при тех же массах расстояние должно получиться меньше.

Ответ записывают в метрах. Формула показывает, что расстояние зависит от силы не обратно, а как квадратный корень из обратной величины.

Задача 3. Сравнение сил

Если массы и расстояния в двух случаях отличаются в несколько раз, необязательно вычислять обе силы полностью. Запишите отношение сил и сократите одинаковые множители. Например, увеличение одной массы в 3 раза увеличивает силу в 3 раза, а увеличение расстояния в 2 раза уменьшает её в 4 раза.

1. Используем зависимость F ∝ m₁m₂/r².
2. Для двух ситуаций составляем F₂/F₁ = (m₁₂/m₁₁)·(m₂₂/m₂₁)·(r₁/r₂)².
3. Подставляем только коэффициенты изменения величин.
4. Учитываем квадрат отношения расстояний, а не само отношение.
5. По полученному числу определяем, во сколько раз изменилась сила.

Ответ должен содержать не только число, но и направление изменения: сила стала больше или меньше. Такой способ быстрее прямого расчёта и одновременно показывает физическую зависимость.

Типичные ошибки

Расстояние между ближайшими поверхностями тел принимают за r, потому что именно его часто указывают в бытовом описании. Но в формуле нужно расстояние между центрами тел. Проверьте геометрию задачи и прибавьте радиусы, если дан промежуток между поверхностями.

Забывают возвести расстояние в квадрат, поскольку в записи формулы показатель легко не заметить. Тогда зависимость от расстояния получается неверной. Перед вычислением отдельно найдите r² и только потом подставляйте его в знаменатель.

G путают с g, так как обе буквы связаны с гравитацией. G — универсальная постоянная с единицей Н·м²/кг², а g — ускорение свободного падения, обычно около 9,8 м/с² у поверхности Земли. Сверяйте обозначение и размерность.

Массу или расстояние оставляют в граммах и сантиметрах. Формула в таком виде требует единиц СИ: кг и м. Перед подстановкой выпишите переводы величин отдельной строкой.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия массы, силы, расстояния, закон всемирного тяготения и правила перевода в единицы СИ. Эти знания позволяют правильно читать формулу и проверять размерность ответа.

Гравитационная постоянная используется при расчёте притяжения планет, спутников и других небесных тел. На её основе изучают движение искусственных спутников, ускорение свободного падения и космические скорости.

Что запомнить

• Гравитационная постоянная обозначается буквой G.
• Сила прямо пропорциональна произведению масс тел.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Единица G в СИ — Н·м²/кг².
• G одинакова для любых тел и не зависит от их природы.
• Значение G определяют экспериментально; исторически это сделал Кавендиш.
• Крутильные весы позволяют измерить очень слабое гравитационное взаимодействие.