§ 5.4. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Реактивная сила

Определения и обозначения

Реактивное движение — движение тела, возникающее вследствие отделения от него части массы с определённой скоростью. Например, ракета выбрасывает газы назад, а сама движется вперёд. Это понятие нужно, чтобы описывать движение без опоры на окружающую среду.

Уравнение Мещерского — уравнение движения тела переменной массы с учётом внешних сил и движения отделяющейся массы. Оно дополняет обычный второй закон Ньютона: при расчёте учитывается не только сила, но и перенос импульса вместе с веществом. С его помощью находят ускорение ракеты и других тел, теряющих или получающих массу.

Реактивная сила — сила, с которой истекающая масса изменяет движение оставшейся части тела. Она возникает из-за обмена импульсом между телом и отделившимся веществом, а не из-за толчка о воздух. Это понятие позволяет отдельно оценить вклад двигателя в движение ракеты.

Относительная скорость истечения — скорость отделяющейся массы относительно тела в момент её выхода. Она может отличаться от скорости газов относительно Земли: ракета сама движется, и эта скорость складывается со скоростью истечения. В уравнениях важно использовать именно относительную скорость и учитывать её направление.

Как это устроено

Представим систему, состоящую из ракеты и находящегося в ней топлива. При выбросе часть вещества уносит импульс в сторону истечения, поэтому импульс оставшейся ракеты изменяется в противоположную сторону. Если внешним воздействием можно пренебречь, полный импульс системы до выброса и после него одинаков. Поэтому ракета способна разгоняться и в вакууме: для сохранения импульса ей не требуется отталкиваться от воздуха.

За малый промежуток времени dt масса ракеты изменяется на dm, а её скорость — на dv. При расходе топлива dm отрицательно, потому что после выброса масса ракеты становится меньше. Покидающее ракету вещество движется со скоростью, равной скорости ракеты плюс его скорость относительно неё. Именно относительная скорость показывает, какой дополнительный импульс связан с истечением, и поэтому она входит в уравнение движения.

Чтобы получить уравнение Мещерского, применяют закон изменения импульса к ракете вместе с небольшой порцией отделившегося вещества. Импульс тела меняется под действием внешней силы, но часть изменения связана с тем, что масса уходит или присоединяется со своей скоростью. Если выделить вклад внешней силы отдельно, для самой ракеты получится m·dv/dt = Fвнеш + u·dm/dt. Здесь u — вектор относительной скорости отделяющейся массы, а dm/dt — изменение массы рассматриваемого тела.

Произведение u·dm/dt описывает реактивное действие. При истечении газов вектор u направлен назад, а dm/dt отрицательно; поэтому произведение направлено вперёд. Если вместо векторов используют модули, тягу записывают как Fреакт = uₑ·(−dm/dt), где uₑ — положительная скорость истечения, а −dm/dt — расход массы в секунду. Такая запись помогает не потерять направление: при прочих равных более быстрый выброс и больший расход топлива дают более сильную тягу.

Из уравнения Мещерского ускорение находят делением суммы сил на массу: dv/dt = (Fвнеш + Fреакт)/m. Тяга — только реактивный вклад, а равнодействующая учитывает также тяжесть и другие внешние силы. Если внешних сил нет, а скорость истечения постоянна, уравнение можно проинтегрировать: прирост скорости ракеты равен uₑ ln(m₀/m), где m₀ — начальная, а m — конечная масса. Значит, скорость зависит от отношения масс, а не только от количества выброшенного топлива.

Величины и уравнения реактивного движения

Сначала определите, для какого тела записываете уравнение, а затем задайте направления осей и знаки скоростей. В строке с уравнением u и dm/dt нужно рассматривать как величины со знаками; при истечении обе направлены так, чтобы реактивный член оказался противоположен выбросу. Для расчёта модуля тяги удобна отдельная запись Fреакт = uₑ·(−dm/dt), если масса убывает.

Разбор задач

Тележка выбрасывает газ

Тележка массой 100 кг выбрасывает газ со скоростью 300 м/с относительно тележки. Скорость потери массы равна 2 кг/с, внешними силами пренебречь. Найдём реактивную силу и ускорение тележки. Направим ось вдоль движения тележки; газ выбрасывается в противоположную сторону.

1. Запишем скорость изменения массы тележки: dm/dt = −2 кг/с. Скорость газа относительно неё направлена против оси, поэтому u = −300 м/с. Два отрицательных знака в произведении дают положительное направление реактивной силы.
2. По уравнению Мещерского при отсутствии внешних сил Fреакт = u·dm/dt. Получаем Fреакт = (−300 м/с)·(−2 кг/с) = 600 Н. Размерность кг·м/с² соответствует ньютону.
3. Используем второй закон Ньютона для оставшейся тележки: a = Fреакт/m. Тогда a = 600 Н / 100 кг = 6 м/с². Ускорение направлено вперёд, то есть противоположно выбросу газа.

Ответ: реактивная сила равна 600 Н, ускорение тележки — 6 м/с².

Ракета у поверхности Земли

Масса ракеты равна 500 кг, скорость истечения газов относительно неё — 400 м/с, масса убывает на 4 кг/с. Дополнительно действует сила тяжести. Выберем вертикальную ось вверх: тяга направлена вверх, сила тяжести — вниз. Нужно определить тягу, равнодействующую и ускорение.

1. Расход массы равен −dm/dt = 4 кг/с. Модуль тяги составляет Fреакт = uₑ·(−dm/dt) = 400·4 = 1600 Н. Она направлена вверх.
2. Сила тяжести равна mg = 500·9,8 = 4900 Н и направлена вниз. Проекция равнодействующей на ось вверх: F = 1600 − 4900 = −3300 Н. Отрицательный знак показывает, что она направлена вниз.
3. Находим ускорение: a = F/m = −3300/500 = −6,6 м/с². Следовательно, ускорение направлено вниз, несмотря на работающий двигатель: тяги здесь недостаточно, чтобы уравновесить тяжесть.

Ответ: тяга равна 1600 Н вверх, равнодействующая — 3300 Н вниз, ускорение — 6,6 м/с² вниз.

Прирост скорости ракеты в космосе

Ракета летит в безвоздушном пространстве без внешних сил. Её масса уменьшается с 1000 до 400 кг, скорость истечения газов постоянна и равна 600 м/с. Требуется найти прирост скорости. Здесь не нужна масса в каждый момент времени: достаточно применить результат интегрирования уравнения Мещерского.

1. Для движения без внешних сил прирост скорости выражается формулой Δv = uₑ ln(m₀/m). В неё входят модуль скорости истечения и отношение начальной массы к конечной.
2. Подставим данные: Δv = 600·ln(1000/400) = 600·ln(2,5). Поскольку ln(2,5) ≈ 0,916, получаем Δv ≈ 550 м/с.
3. Отношение масс больше единицы, поэтому логарифм положителен: ракета увеличивает скорость в направлении тяги. Результат — именно прирост скорости, а не её конечное значение, если начальная скорость не задана.

Ответ: прирост скорости ракеты примерно равен 550 м/с.

Типичные ошибки

• Считают dm/dt положительным при расходе топлива. Часто скорость потери массы принимают за положительную величину и забывают, что производная самой массы отрицательна. Проверьте: если топливо уходит, масса ракеты со временем уменьшается, значит dm/dt < 0; для положительного расхода отдельно используйте −dm/dt.
• Подставляют скорость газов относительно Земли. Так делают, путая движение ракеты с движением струи относительно неё. Сравните, от чего измеряется скорость: в уравнение входит относительная скорость истечения, указанная относительно ракеты.
• Принимают реактивную силу за равнодействующую. Тяга — вклад истечения, но на ракету могут действовать тяжесть и другие силы. Для проверки составьте отдельный список сил и сложите их проекции с учётом выбранной оси.
• Применяют обычное уравнение Ньютона без поправки на изменение массы. При этом теряется импульс, переносимый отделяющимся веществом. Если масса тела меняется, проверьте, учтён ли член u·dm/dt; обычную запись F = ma используйте для найденной равнодействующей и ускорения тела.

Связь с другими темами

Для понимания реактивного движения нужны закон сохранения импульса, второй закон Ньютона, сложение векторов и относительность скорости. Эти знания помогают вывести уравнение и правильно выбрать знаки. Уравнение Мещерского применяется к ракетам и реактивным двигателям, а его интегрирование приводит к формуле Циолковского. Сходные задачи о движении тел переменной массы возникают при изучении турбин и двигателей.

Что запомнить

• Реактивное движение возникает при отделении части массы тела.
• Его причина — сохранение импульса замкнутой системы «тело плюс выброшенное вещество».
• Уравнение Мещерского учитывает внешние силы и перенос импульса истекающей массой.
• При расходе топлива масса ракеты уменьшается, поэтому dm/dt имеет отрицательный знак.
• Реактивная сила направлена противоположно направлению истечения вещества.
• Чем больше скорость истечения и расход топлива, тем больше реактивная сила.
• При отсутствии внешних сил прирост скорости зависит от отношения начальной массы к конечной: Δv = uₑ ln(m₀/m).