"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Кинетическая энергия характеризует движение тела и зависит от его массы и квадрата скорости. С её помощью можно связать изменение скорости с работой всех сил, действующих на тело. Теорема об изменении кинетической энергии позволяет решать задачи на разгон, торможение и движение под действием нескольких сил без подробного поиска времени и ускорения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия — энергия механического движения тела. Она обозначается Eк и вычисляется по формуле Eк = mv²/2, поэтому зависит от массы m и квадрата модуля скорости v. Понятие нужно, чтобы количественно описывать способность движущегося тела совершать работу.
Изменение кинетической энергии — разность конечной и начальной энергий: ΔEк = Eк2 − Eк1. Индекс 1 относится к начальному состоянию, а индекс 2 — к конечному. Эта величина показывает, увеличилась энергия, уменьшилась или осталась прежней.
Теорема об изменении кинетической энергии утверждает: изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей всех сил, действующих на тело. Равнодействующая — сила, заменяющая совместное действие всех сил. Теорема связывает описание движения через скорость с описанием действия сил через работу.
Джоуль — единица измерения энергии и работы в СИ. Один джоуль равен работе силы 1 Н при перемещении тела на 1 м в направлении силы: 1 Дж = 1 Н·м. Поэтому в формулах массу берут в килограммах, а скорость — в метрах в секунду.
Движущееся тело обладает энергией, потому что его движение позволяет совершить работу над другим телом: например, ударить по нему или сдвинуть его. Чтобы получить формулу, рассмотрим действие постоянной равнодействующей силы. По второму закону Ньютона F = ma, а её работа при перемещении s равна A = Fs.
Если начальная скорость равна нулю, то при равноускоренном движении v² = 2as. Подставляя это соотношение в работу, получаем A = mas = mv²/2. Значит, работа, затраченная на разгон тела, превращается в его кинетическую энергию: Eк = mv²/2. При ненулевой начальной скорости разность работ приводит к разности двух кинетических энергий.
В теореме используют именно работу равнодействующей, потому что скорость изменяется под совместным действием всех сил. Например, сила тяги может разгонять тело, а трение одновременно тормозить его. Тогда изменение энергии равно сумме работ: ΔEк = A1 + A2 + …, а не работе одной выбранной силы.
Знак работы показывает, как сила влияет на скорость. Положительная работа означает, что в среднем сила направлена по перемещению, поэтому Eк увеличивается; отрицательная работа уменьшает энергию. При нулевой суммарной работе энергия и модуль скорости не изменяются, хотя отдельные силы могут действовать.
При переходе из состояния 1 в состояние 2 теорема записывается так: Eк2 − Eк1 = Aравн. Следовательно, mv₂²/2 = mv₁²/2 + Aравн, а конечную скорость находят после выражения v₂. Квадрат скорости объясняет быстрый рост энергии: при увеличении скорости в два раза энергия возрастает в четыре раза, а при уменьшении в два раза становится в четыре раза меньше.
В таблице сначала находите нужную величину, затем выбираете формулу и проверяете единицы. Знак работы помогает сразу предсказать, должна ли энергия увеличиться или уменьшиться. В строках, где указана связь, равенство показывает не отдельную силу, а общий результат её действия.
| Величина или связь | Формула | Физический смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия тела | Eк = mv²/2 | Энергия движения тела | Дж |
| Изменение кинетической энергии | ΔEк = Eк2 − Eк1 | Разность конечной и начальной энергий | Дж |
| Работа равнодействующей силы | Aравн = Fравнs cos α | Энергия, переданная телу силами при перемещении | Дж |
| Теорема об изменении кинетической энергии | Aравн = ΔEк | Работа всех сил равна изменению энергии движения | Дж |
| Связь работы и изменения скорости | mv₂²/2 − mv₁²/2 = Aравн | По работе можно определить конечную или начальную скорость | Дж |
| Знак работы и изменение кинетической энергии | A > 0: ΔEк > 0; A < 0: ΔEк < 0; A = 0: ΔEк = 0 | Направление изменения энергии и модуля скорости | Дж |
Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Требуется найти его кинетическую энергию. Известны масса и скорость, поэтому достаточно применить основную формулу. Скорость нужно возвести в квадрат до умножения на массу.
Ответ: Eк = 9 Дж.
Автомобиль массой 1000 кг увеличил скорость с 10 до 20 м/с. Нужно найти работу равнодействующей силы, а не работу двигателя отдельно. Поскольку известны начальная и конечная скорости, применим теорему об изменении кинетической энергии.
Ответ: работа равнодействующей силы равна 150 кДж. Положительный знак согласуется с разгоном автомобиля.
Брусок скользит по горизонтальной поверхности и останавливается под действием трения. Найдём работу трения через массу m и начальную скорость v₀. Конечная кинетическая энергия равна нулю, а сила трения направлена против перемещения.
Ответ: работа трения равна −mv₀²/2 Дж, если m выражена в килограммах, а v₀ — в метрах в секунду.
Записывают Eк = mv вместо Eк = mv²/2. Так происходит, когда забывают квадратичную зависимость энергии от скорости. Проверьте формулу по размерности: mv не имеет единиц энергии, а кг·м²/с² имеет.
Приравнивают работу отдельной силы к изменению кинетической энергии. Ошибка возникает, если не учитывать трение, тяжесть или реакцию опоры. Сначала определите все силы и найдите сумму их работ либо работу равнодействующей.
Не учитывают начальную кинетическую энергию и считают работу равной только конечной. Это допустимо лишь при разгоне из состояния покоя. Всегда начинайте с записи A = Eк2 − Eк1.
Ошибаются в знаке работы тормозящей силы. Сила трения направлена против перемещения, поэтому её работа отрицательна и энергия уменьшается. Проверьте результат по физическому смыслу: после торможения конечная энергия не должна быть больше начальной.
До изучения темы нужны второй закон Ньютона, понятия перемещения и работы постоянной силы, скалярное произведение, а также единицы СИ. Теорема особенно полезна в задачах на разгон, торможение и движение под действием нескольких сил. Вместе с потенциальной энергией она приводит к закону сохранения и превращения механической энергии.
Почему в формуле кинетической энергии скорость возводится в квадрат?
При движении работа силы связана с изменением скорости, а перемещение при постоянном ускорении также зависит от скорости. После подстановки второго закона Ньютона получается Eк = mv²/2, поэтому энергия растёт пропорционально квадрату скорости.
Работу какой силы нужно брать в теореме об изменении кинетической энергии?
Нужно брать работу равнодействующей всех сил, действующих на тело. Эквивалентно можно сложить работы всех отдельных сил, если учтены их направления и знаки.
Может ли кинетическая энергия быть отрицательной?
Нет, кинетическая энергия неотрицательна: Eк = mv²/2, а масса положительна и квадрат скорости не бывает отрицательным. Отрицательным может быть не сама энергия, а её изменение или работа силы.
Что происходит с кинетической энергией при действии силы трения?
При скольжении сила трения обычно направлена против перемещения и совершает отрицательную работу. Поэтому кинетическая энергия уменьшается, а часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тела и поверхности.
Как найти конечную скорость тела через работу сил?
Сначала используют теорему: Eк2 = Eк1 + A, где A — суммарная работа всех сил. Затем подставляют Eк1 = mv₁²/2 и Eк2 = mv₂²/2, откуда v₂ = √(v₁² + 2A/m), если выражение под корнем неотрицательно.
§ 6.5. Кинетическая энергия и ее изменение
