§ 46. Кинетическая энергия и ее изменение

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия тела, обусловленная его движением; её обозначают Eк и измеряют в джоулях (Дж). Движущийся предмет может передать энергию другому телу: например, сдвинуть его или вызвать деформацию при столкновении. Поэтому кинетическая энергия помогает описывать способность движения совершать работу и сравнивать движущиеся тела.

Кинетическая энергия вычисляется по формуле Eк = mv²/2, где m — масса тела, а v — его скорость относительно выбранной системы отсчёта. Массу подставляют в килограммах, скорость — в метрах в секунду, тогда результат получается в джоулях. Формула нужна, чтобы по массе и скорости определить энергию тела или, зная энергию, найти одну из этих величин.

Работа силы характеризует передачу энергии при перемещении тела. Для постоянной силы A = Fs cos α, где F — модуль силы, s — перемещение, а α — угол между направлением силы и перемещения. Работа измеряется в джоулях; её знак показывает, передаёт ли сила телу энергию или отнимает её.

Как это устроено

Движение тела может изменить состояние другого тела: мяч сдвигает предмет, а падающий груз растягивает пружину. Чтобы произошло такое изменение, тело совершает работу, то есть передаёт энергию. Именно поэтому движение связывают с запасом кинетической энергии, а не считают его только изменением положения тела. Чем больше энергии доступно для передачи, тем больший эффект тело может вызвать при взаимодействии.

Зависимость от массы и скорости следует из формулы Eк = mv²/2. При одной и той же скорости более массивному телу соответствует большая кинетическая энергия, потому что для изменения его движения требуется большее воздействие. Скорость входит в формулу в квадрате: если массу не менять, удвоение скорости приводит к увеличению энергии в четыре раза. Это объясняет, почему даже небольшое увеличение скорости может заметно изменить последствия столкновения.

Связь работы с энергией можно вывести из второго закона Ньютона. Для движения вдоль направления равнодействующей Fрез = ma, а перемещение при изменении скорости связано с ускорением соотношением v₂² − v₁² = 2as. Умножив второй закон на перемещение, получаем Aрез = Fрезs = mas = m(v₂² − v₁²)/2. Правая часть равна Eк,кон − Eк,нач, поэтому работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии.

Знак работы показывает, как меняется энергия. Если сила направлена вдоль перемещения, её работа положительна: равнодействующая передаёт телу энергию, и Eк возрастает. Если сила направлена против движения, работа отрицательна, поэтому кинетическая энергия уменьшается; пример — торможение под действием трения. При нулевой работе изменения кинетической энергии нет, хотя тело может продолжать двигаться.

Скорость имеет смысл только по отношению к выбранной системе отсчёта — например, к земле или к движущемуся автобусу. Пассажир неподвижен относительно автобуса, но движется относительно дороги, поэтому его кинетическая энергия в этих системах будет различной. Это не противоречие: в формулу входит именно скорость в выбранной системе. Перед вычислением следует указать, относительно чего задано движение, и использовать ту же систему для всех скоростей задачи.

Кинетическая энергия и её изменение

Сначала определите, что требуется найти: энергию, её изменение или работу. Для изменения вычитайте начальную энергию из конечной, а для работы силы проверяйте, является ли она равнодействующей. Знак результата помогает проверить, согласуется ли ответ с характером движения.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдём его кинетическую энергию. Достаточно знать массу и скорость относительно выбранной системы отсчёта. Подставим данные в формулу Eк = mv²/2.

1. Запишем формулу: Eк = mv²/2. Сначала возведём скорость в квадрат: 3² = 9 м²/с². Это важно, потому что энергия зависит не от самой скорости, а от её квадрата.

2. Подставим значения: Eк = 2 · 9/2 = 9 Дж. Килограмм, умноженный на квадрат метра в секунду, даёт единицу энергии. Полученное значение положительно, как и должно быть для кинетической энергии.

Ответ: 9 Дж.

Задача 2. Тело массой 4 кг разогналось с 2 м/с до 5 м/с. Требуется найти изменение кинетической энергии и работу равнодействующей силы. Поскольку известны начальная и конечная скорости, вычислим обе энергии. Затем применим теорему о кинетической энергии.

1. Найдём начальную энергию: Eк,нач = 4 · 2²/2 = 8 Дж. Найдём конечную: Eк,кон = 4 · 5²/2 = 50 Дж. При подстановке каждую скорость возводим в квадрат отдельно.

2. Вычислим изменение: ΔEк = Eк,кон − Eк,нач = 50 − 8 = 42 Дж. Конечная энергия больше начальной, поэтому изменение положительно. Это согласуется с тем, что тело разогналось.

3. По теореме о кинетической энергии работа равнодействующей силы равна этому изменению: Aрез = 42 Дж. Речь идёт о суммарной работе всех сил, а не обязательно о работе любой одной силы. Знак показывает, что равнодействующая передала телу энергию.

Ответ: изменение кинетической энергии — 42 Дж; работа равнодействующей силы — 42 Дж.

Задача 3. Тело массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с. На него действует постоянная сила 6 Н под углом 60° к направлению движения на пути 5 м. Найдём конечную скорость, учитывая, что работу совершает составляющая силы вдоль перемещения. Предположим, что указанная сила является равнодействующей или что работа остальных сил не учитывается.

1. Определим работу силы: A = Fs cos α = 6 · 5 · cos 60° = 30 · 0,5 = 15 Дж. Угол уменьшает работу по сравнению со случаем, когда сила направлена прямо вдоль движения. Работа положительна, так как угол острый.

2. Начальная кинетическая энергия равна Eк,нач = 3 · 4²/2 = 24 Дж. По теореме Eк,кон = Eк,нач + A = 24 + 15 = 39 Дж. Работа увеличила энергию тела.

3. Выразим конечную скорость из Eк,кон = mv²/2: v = √(2Eк,кон/m). Подставим значения: v = √(2 · 39/3) = √26 ≈ 5,1 м/с. Выбираем положительный корень, поскольку модуль скорости не может быть отрицательным.

Ответ: конечная скорость приблизительно равна 5,1 м/с.

Типичные ошибки

При подстановке в формулу иногда забывают возвести скорость в квадрат. Так происходит, если механически подставлять числа, не проверив структуру выражения; тогда значение энергии получается неверным. Перед вычислением запишите Eк = mv²/2 и отдельно найдите v². Полезная проверка: при удвоении скорости ответ должен увеличиться в четыре раза.

Изменение энергии путают с её конечным значением, потому что в условии часто спрашивают «сколько энергии» после изменения движения. Но изменение — это разность: ΔEк = Eк,кон − Eк,нач. Найдите обе энергии и проверьте порядок вычитания: если тело разогналось, результат обычно положительный. Запись ответа только как Eк,кон не отвечает на вопрос об изменении.

Иногда работу отдельной силы приравнивают к изменению кинетической энергии, не учитывая остальные силы. Теорема относится к работе равнодействующей, поэтому сила трения, тяжести и другие силы тоже могут вносить вклад. Составьте перечень действующих сил и определите их суммарную работу; если нужна работа одной силы, используйте баланс работ остальных сил.

Кинетическую энергию могут считать абсолютной величиной, забывая, что скорость зависит от системы отсчёта. Ошибку допускают, когда берут скорость из условия, не выяснив, относительно чего она дана. Укажите систему отсчёта до расчёта и проверяйте, что начальная и конечная скорости заданы относительно одной системы. При смене системы энергия может измениться, и это допустимо.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия механической работы, силы, перемещения и скорости, а также второй закон Ньютона. Работа связывает действие силы на пути с передачей энергии, а второй закон позволяет вывести соотношение между работой и изменением скорости. Теорема о кинетической энергии упрощает задачи, где требуется связать начальное и конечное состояния тела. Она пригодится при изучении движения под действием нескольких сил и закона сохранения механической энергии.

Что запомнить

• Кинетическая энергия связана с движением тела.
• Eк = mv²/2.
• Кинетическая энергия зависит от системы отсчёта.
• Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии.
• Положительная работа увеличивает кинетическую энергию, отрицательная — уменьшает.
• Работа, равная нулю, не изменяет кинетическую энергию.