"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Покой жидкости не означает, что она давит только на дно: давление действует во всех направлениях и передаётся к стенкам сосуда. На глубине оно определяется плотностью жидкости и высотой столба над точкой: p = ρgh. Поэтому в сосудах разной формы давление на дне может быть одинаковым, даже если жидкости в них разное количество. Это явление называют гидростатическим парадоксом; оно помогает правильно сравнивать давление и силу действия жидкости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон Паскаля — внешнее давление, производимое на жидкость или газ, передаётся без изменения во все точки среды и на стенки сосуда. Например, если сжать закрытую жидкость поршнем, добавочное давление появится не только под поршнем. Закон объясняет работу гидравлических устройств и помогает понять, почему давление действует также на боковые стенки.
Гидростатическое давление — давление покоящейся жидкости, обусловленное весом расположенных выше слоёв. Его обозначают p, а величину находят по формуле p = ρgh, где ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, h — глубина. Эта формула позволяет вычислить давление в точке, не зная полной массы жидкости в сосуде.
Гидростатический парадокс — зависимость давления на дно от плотности жидкости и высоты её столба, а не от формы сосуда и общего количества жидкости. «Парадокс» здесь означает лишь кажущееся противоречие: в широком сосуде жидкости может быть больше, но давление при том же уровне останется таким же. Это понятие нужно, чтобы не связывать давление на дне напрямую с массой всего содержимого.
Сила давления — сила, с которой жидкость действует на поверхность; для плоского дна при равномерном давлении F = pS. Здесь S — площадь поверхности, а F измеряется в ньютонах. Формула показывает, почему одинаковое давление на дне разной площади не обязательно означает одинаковую силу.
Давление в покоящейся жидкости не выделяет особого направления: если бы в одной точке оно было больше в одном направлении, чем в другом, небольшой объём жидкости начал бы двигаться. Равновесие сохраняется, когда давление на малые площадки действует перпендикулярно им и уравновешивает воздействие соседних частей жидкости. Поэтому жидкость давит и вниз, и в стороны, и на наклонные поверхности. На стенку сосуда она действует перпендикулярно стенке, а не обязательно вертикально вниз.
Чтобы получить формулу гидростатического давления, мысленно выделим столб жидкости площадью основания S и высотой h. На его верхнюю грань действует давление окружающей жидкости, на нижнюю — искомое давление p; разность сил направлена вверх и должна уравновесить вес столба. Масса столба равна ρSh, поэтому его вес равен ρShg; равновесие даёт (p − pверх)S = ρShg. Следовательно, p = pверх + ρgh, а если отсчитывать давление относительно поверхности, где pверх = 0, получаем гидростатическую добавку ρgh.
Внешнее давление передаётся жидкости согласно закону Паскаля: если на поверхность закрытой жидкости добавить давление Δp, оно прибавится и в любой другой точке. Причина в том, что жидкость практически несжимаема и остаётся в равновесии; локальное различие давлений вызвало бы движение, пока равновесие не восстановилось бы. Поэтому полное давление на глубине складывается из внешнего давления на поверхности и гидростатической добавки. Для открытого сосуда внешним давлением обычно служит атмосферное.
Давление характеризует действие на единицу площади, тогда как сила давления относится ко всей поверхности. Если плоское дно горизонтально, а жидкость покоится, давление на всех его точках одинаково, поэтому результирующая сила равна F = pS. При расчёте нужно уточнить, какое давление подставлять: только избыточное, создаваемое столбом жидкости, или полное, включающее атмосферное. Величины нельзя смешивать: паскаль — единица давления, ньютон — единица силы.
В сосудах разной формы при одинаковых жидкости и высоте уровня у дна получается одна и та же величина ρgh. Если площадь плоского дна также одинакова, одинаково и произведение pS — сила давления жидкости на дно. При этом массы содержимого могут различаться: часть вертикальных сил у стенок имеет вертикальную составляющую и участвует в равновесии жидкости вместе с силой со стороны дна. Поэтому сила на дно не обязана совпадать с весом всей жидкости.
| Величина или ситуация | Формула | От чего зависит | Что важно учитывать |
|---|---|---|---|
| Гидростатическое давление | p = ρgh | От плотности ρ, глубины h и g | Это добавка от столба жидкости относительно давления на поверхности |
| Давление при дополнительном внешнем воздействии | p = p₀ + Δp; Δp передаётся без изменения | От исходного давления и внешней добавки | Добавка действует во всех точках жидкости и на стенки |
| Сила давления на плоское дно | F = pS | От давления p и площади S | Проверьте, используется полное или избыточное давление |
| Давление на одной глубине | p = p₀ + ρgh | От глубины и свойств одной и той же жидкости | В точках на одном уровне давление одинаково |
| Гидростатический парадокс | p = ρgh; F = pS | От ρ, h и, для силы на дно, S | Форма сосуда и масса жидкости в формулах не указаны |
Сначала определите, какая величина требуется: давление или сила, а затем выберите подходящую строку. Для открытого сосуда различайте гидростатическую добавку ρgh и полное давление, включающее p₀, обычно атмосферное. В строке о силе используйте площадь именно той поверхности, на которую действует давление.
Задача 1. Определить давление воды на глубине 3 м, если плотность воды равна 1000 кг/м³. Слово «давление воды» в подобных задачах обычно означает гидростатическое, то есть избыточное относительно поверхности. Атмосферное давление добавляют отдельно, если просят найти полное давление.
Ответ: гидростатическое давление равно 29,4 кПа. Если требуется полное давление в открытом водоёме, к нему нужно прибавить атмосферное, приблизительно 101 кПа, получив около 130 кПа. Это разные ответы на разные вопросы, а не ошибка в вычислениях.
Задача 2. Сравнить давления на дно двух сосудов разной формы, если в них налита одна и та же жидкость до одинакового уровня. Форма может влиять на количество жидкости, но сама по себе не меняет высоту столба над дном. Поэтому сравниваем величины, от которых зависит давление, а не объём содержимого.
Ответ: давления одинаковы; при одинаковой площади дна одинаковы и силы давления. Если площадь дна различается, одинаковое давление не означает одинаковую силу. Масса жидкости в сосудах при этом может быть неодинаковой.
Задача 3. Найти силу давления воды на дно площадью 0,20 м² при глубине 3 м, учитывая атмосферное давление. Считаем сосуд открытым, воду — покоящейся, а давление на горизонтальное дно — равномерным. Так как в условии прямо сказано учитывать атмосферное давление, ищем полное давление, а не только добавку от воды.
Ответ: сила при учёте атмосферного давления составляет примерно 2,61 · 10⁴ Н. Если бы требовалась только сила, обусловленная водой сверх атмосферного давления, получилось бы ρghS = 5880 Н. Разница возникает из-за того, какое давление включено в расчёт.
Ошибка: считать, что давление зависит от объёма или массы всей жидкости. Такой вывод кажется естественным, потому что вес жидкости растёт с её количеством. Однако на заданной глубине давление определяется плотностью и высотой столба: p = ρgh. Проверьте себя: если в формуле не появились объём или масса, не подменяйте ими высоту столба.
Ошибка: полагать, что давление действует только вниз. Это впечатление возникает из-за того, что мы часто связываем жидкость с её весом. Но в покоящейся жидкости давление действует во всех направлениях и перпендикулярно поверхности. Проверьте направление силы на стенке: она должна быть перпендикулярна стенке, а не обязательно направлена вертикально.
Ошибка: путать давление с силой давления. Их смешивают, потому что обе величины описывают действие жидкости, но давление относится к единице площади, а сила — ко всей площадке. Для перехода от давления к силе нужно умножить на площадь: F = pS. Проверка единиц проста: давление измеряется в паскалях, сила — в ньютонах.
Ошибка: забывать атмосферное давление или добавлять его дважды. Это случается, когда не уточняют, означает ли p гидростатическую добавку или полное давление. Для открытой поверхности полное давление равно pатм + ρgh, а избыточное — только ρgh. Перед подстановкой запишите, что именно требуется; если атмосферное уже включено в данное значение давления, повторно прибавлять его нельзя.
Для работы с давлением нужны понятия силы, площади, плотности, веса и равновесия: без них нельзя вывести p = ρgh и понять направление действия жидкости. Закон Паскаля лежит в основе гидравлических машин и пресса, а также помогает разбирать сообщающиеся сосуды. Знание давления в жидкости подготавливает к изучению архимедовой силы и условий плавания тел. Эти темы показывают, как законы механики применяются к жидкостям.
Почему жидкость давит не только вниз, но и на боковые стенки сосуда?
Давление покоящейся жидкости направлено перпендикулярно любой поверхности, с которой она соприкасается. Если бы давление на боковые стенки отсутствовало, жидкость не могла бы оставаться в равновесии: её частицы смещались бы в сторону.
Почему в широком и узком сосудах давление на одной глубине одинаково?
В одной и той же жидкости давление на глубине h равно ρgh и зависит от плотности и высоты столба над точкой. Ширина сосуда в эту формулу не входит, поэтому при одинаковой глубине давление одинаково.
Откуда берётся гидростатический парадокс?
Давление на дно определяется высотой и плотностью столба жидкости, а не формой сосуда и не общей массой жидкости. Поэтому одинаковые дно и уровень жидкости могут дать одинаковую силу давления, хотя массы жидкости в сосудах различаются.
Чем отличаются давление жидкости и сила давления на дно?
Давление показывает, какая сила приходится на единицу площади; его измеряют в паскалях. Сила давления — полное действие на поверхность, и для плоского дна при равномерном давлении она равна F = pS.
Нужно ли учитывать атмосферное давление в задаче?
Если требуется полное давление под открытой поверхностью, к гидростатическому добавляют атмосферное: pполное = pатм + ρgh. Если спрашивают избыточное давление жидкости относительно атмосферы, используют только ρgh. Уточните, какое именно давление требуется найти, чтобы не пропустить атмосферное и не учесть его дважды.
§ 9.6. Закон Паскаля. Гидростатический парадокс
