§ 9.7. Закон Архимеда

Определения и обозначения

Выталкивающая сила, или сила Архимеда, — сила, с которой жидкость или газ действуют на погружённое в них тело; её обозначают F_A. Она направлена вертикально вверх, то есть противоположно силе тяжести. Это обозначение помогает отдельно учитывать действие среды и сравнивать его с весом тела.

Закон Архимеда устанавливает, от чего зависит величина выталкивающей силы: F_A = ρжgVпогр. Здесь ρж — плотность жидкости или газа, g — ускорение свободного падения, а Vпогр — объём вытесненной среды. По формуле можно рассчитать силу, не зная форму тела или его материал.

Объём вытесненной жидкости — это объём той части жидкости, которую заняло погружённое тело. Для тела, погружённого полностью, он равен объёму тела, а для частично погружённого — объёму его подводной части. Эта величина нужна, чтобы не учитывать части тела, которые среду не вытесняют.

Условие плавания тела — равенство силы Архимеда и силы тяжести, когда тело покоится на поверхности жидкости: F_A = mg. В этом случае силы направлены противоположно и уравновешивают друг друга. Условие позволяет определить, какой объём тела должен находиться под водой.

Как это устроено

Жидкость давит на поверхность погружённого тела со всех сторон. Давление зависит от глубины: чем глубже точка, тем больший столб жидкости находится над ней и тем сильнее он давит. Поэтому на нижние участки тела давление больше, чем на верхние, и равнодействующая сил давления направлена вверх.

Силы давления на боковые стороны в среднем компенсируют друг друга: для каждой стороны есть противоположная сторона на сопоставимой глубине. Вертикальные силы не компенсируются полностью, поскольку снизу давление больше, чем сверху. Складывая все силы давления по поверхности тела, получаем результирующую силу, равную разности вертикальных сил; её величина составляет F_A = ρжgVпогр.

Формулу можно понять через вытесненную жидкость. Если мысленно заменить тело жидкостью, занимавшей тот же объём, эта жидкость покоилась бы в окружающей среде; действующая на неё результирующая сила давления уравновешивала бы её вес. Значит, сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: F_A = ρжgVпогр. Вес самого тела в эту формулу не входит, поскольку силу создаёт давление среды, а не масса тела.

Чтобы предсказать движение, сравнивают две силы: вверх действует F_A, вниз — сила тяжести mg. Если выталкивающая сила больше, результирующая направлена вверх и тело начинает всплывать; если меньше — тело движется вниз. При равенстве тело может находиться в равновесии, если силы взаимно уравновешены.

Для полностью погружённого тела можно сравнить плотности. Подставляя в формулу объём тела V и выражая его вес как mg = ρтVg, видим: при ρт < ρж сила Архимеда больше веса, при ρт > ρж — меньше. Когда тело плавает на поверхности, оно погружено лишь частично, а равновесие устанавливается при таком погружённом объёме, для которого F_A = mg. Поэтому средняя плотность плавающего тела меньше плотности жидкости: часть его объёма остаётся над поверхностью.

Сила Архимеда и условия поведения тела в жидкости

Сначала установите, полностью или частично погружено тело, а затем сравните силу Архимеда с силой тяжести. Условие через плотности непосредственно применимо к полностью погружённому телу; для плавающего на поверхности нужно учитывать только подводный объём. Равенство сил означает отсутствие ускорения, но само по себе не сообщает, где именно находится тело.

Разбор задач

Выталкивающая сила для куба в воде

Куб объёмом 0,002 м³ полностью погружён в воду. Нужно найти силу Архимеда. Плотность воды примем равной 1000 кг/м³, ускорение свободного падения — 9,8 м/с². Так как куб погружён полностью, вытесненный объём равен объёму куба.

1. Записываем закон Архимеда: F_A = ρжgVпогр. Не подставляем плотность куба, потому что сила зависит от плотности воды.
2. Подставляем значения: F_A = 1000 × 9,8 × 0,002. Объём уже соответствует объёму погружённой части.
3. Выполняем умножение: F_A = 19,6 Н. Полученная сила направлена вертикально вверх.

Ответ: выталкивающая сила равна 19,6 Н.

Будет ли тело всплывать или тонуть?

Тело массой 3 кг и объёмом 0,002 м³ полностью погружено в воду. Чтобы выяснить, как оно будет двигаться, сравним направленные навстречу друг другу силы Архимеда и тяжести. Для воды используем плотность 1000 кг/м³, для g — 9,8 м/с².

1. Находим силу Архимеда: F_A = 1000 × 9,8 × 0,002 = 19,6 Н. Поскольку тело погружено полностью, в формулу входит весь его объём.
2. Рассчитываем силу тяжести: mg = 3 × 9,8 = 29,4 Н. Она направлена вниз.
3. Сравниваем значения: 19,6 Н < 29,4 Н. Значит, сила тяжести больше, и равнодействующая направлена вниз.

Ответ: тело будет тонуть.

Погружённая часть деревянного бруска

Брусок плотностью 600 кг/м³ плавает в воде, плотность которой равна 1000 кг/м³. Требуется найти долю объёма бруска, находящуюся под водой. Поскольку брусок покоится, сила Архимеда уравновешивает его силу тяжести. В формуле выталкивающей силы берём только объём погружённой части.

1. Обозначим полный объём бруска V, а погружённый объём — Vпогр. Условие равновесия: ρжgVпогр = ρтgV.
2. Сокращаем одинаковое ускорение g и делим на ρжV. Получаем долю погружённого объёма: Vпогр/V = ρт/ρж.
3. Подставляем плотности: Vпогр/V = 600/1000 = 0,6. В процентах это составляет 60% полного объёма.

Ответ: под водой находится 0,6 объёма бруска, или 60%.

Типичные ошибки

Подставляют в закон Архимеда полный объём частично погружённого тела. Так делают, потому что путают объём тела с объёмом вытесненной жидкости; проверьте, какая часть тела действительно находится в среде, и используйте именно её объём.

Направляют силу Архимеда вниз, вместе с силой тяжести. Это происходит, когда забывают, что силы давления снизу больше, чем сверху; нарисуйте стрелки сил и убедитесь, что тяжесть направлена вниз, а выталкивающая сила — вверх.

Сравнивают с плотностью жидкости материал корпуса полого предмета, например корабля. Но для плавания имеет значение средняя плотность всей конструкции вместе с полостью и содержимым; проверьте, сравниваете ли вы плотность всего тела с плотностью среды.

Считают, что при плавании сила Архимеда должна быть больше силы тяжести. Такое ожидание связано с тем, что именно выталкивающая сила помогает удержаться на воде; однако покоящееся тело не ускоряется, поэтому силы равны. Для плавающего тела проверьте условие F_A = mg.

Связь с другими темами

Для понимания закона Архимеда нужны знания о давлении жидкости, законе Паскаля, силе тяжести, плотности и равновесии. Тема связывает механику с гидростатикой: разность давлений создаёт результирующую силу, которую затем сравнивают с весом тела. Закон применяют при объяснении плавания судов и воздушных шаров, работы ареометров и расчёте плотности веществ.

Что запомнить

• Сила Архимеда направлена вертикально вверх.
• F_A = ρжgVпогр.
• Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости или газа.
• При полном погружении Vпогр равен объёму тела.
• При частичном погружении Vпогр меньше полного объёма тела.
• Тело всплывает при F_A > mg и тонет при F_A < mg.
• При плавании тела F_A = mg.