§ 2.5. Потенциальная энергия взаимодействия молекул

Определения и обозначения

Потенциальная энергия взаимодействия молекул — энергия, зависящая от взаимного расположения молекул и связанная с силами их притяжения и отталкивания. Для пары молекул её обычно обозначают U, а расстояние между центрами — r. По значению U можно судить об устойчивости системы и о работе, необходимой для изменения расстояния.

Нулевой уровень потенциальной энергии — условно выбранное состояние, относительно которого измеряют энергию. Обычно принимают U = 0 при бесконечном расстоянии между молекулами, когда их взаимодействие практически исчезает. Такой выбор позволяет сравнивать связанную пару с полностью разделёнными молекулами.

Равновесное расстояние — расстояние r₀ между центрами молекул, при котором силы притяжения и отталкивания уравновешиваются. Результирующая сила в этой точке равна нулю. Именно около r₀ молекулы могут находиться в устойчивом связанном состоянии.

Потенциальная яма — участок зависимости U(r), содержащий минимум, соответствующий связанному состоянию молекул. Чем глубже яма относительно выбранного нулевого уровня, тем больше энергии требуется для разделения молекул. На графике она выглядит как впадина между областью сильного отталкивания и областью далёкого притяжения.

Как это устроено

При очень малых расстояниях электронные оболочки молекул начинают сильно перекрываться. Возникает резкое отталкивание, потому что сближению препятствуют квантовые свойства электронов и электростатическое взаимодействие одноимённых зарядов. При увеличении расстояния этот эффект быстро ослабевает, поэтому кривая энергии круто поднимается в области малых r.

На больших расстояниях молекулы притягиваются из-за взаимодействия их зарядов и возникающих диполей. С удалением частицы всё слабее «чувствуют» друг друга, поэтому сила притяжения уменьшается. В пределе r → ∞ взаимодействие и сила стремятся к нулю, а потенциальная энергия приближается к выбранному уровню U = 0.

Работа внешней силы изменяет потенциальную энергию системы: при медленном перемещении без заметного изменения кинетической энергии ΔU = −A_внут = A_внеш. Иными словами, внешняя сила, медленно раздвигающая притягивающиеся молекулы, увеличивает их потенциальную энергию. Для радиального движения связь с силой записывают так: F = −dU/dr, где минус показывает, что сила направлена в сторону уменьшения U.

Если нулевой уровень выбран на бесконечности, то притягивающаяся пара имеет меньшую энергию, чем свободные удалённые молекулы. Поэтому в области притяжения U отрицательна. При дальнейшем сближении до расстояний меньше r₀ отталкивание становится главным, и энергия резко растёт, поскольку для такого сближения внешняя сила должна преодолевать всё более сильное сопротивление.

Минимум графика U(r) означает, что при небольшом смещении в любую сторону энергия увеличивается. В самой нижней точке производная dU/dr равна нулю, следовательно, равнодействующая сила равна нулю. Такое равновесие устойчиво: после небольшого отклонения сила стремится вернуть молекулы к r₀.

По наклону графика можно определить направление силы. Если при увеличении r энергия уменьшается, сила направлена к большим r, то есть молекулы отталкиваются; если энергия возрастает, сила направлена к меньшим r, то есть молекулы притягиваются. Энергия, необходимая для полного разделения связанной пары, равна разности между нулевой энергией на бесконечности и начальной энергией в потенциальной яме.

Потенциальная энергия и сила взаимодействия молекул при разных расстояниях

Сначала найдите на графике положение минимума: оно задаёт r₀. Затем сравните выбранное расстояние с r₀ и посмотрите, возрастает или убывает U при движении вправо; знак наклона с противоположным знаком даёт направление силы.

Таблица показывает качественную картину, поэтому границы областей не следует воспринимать как точные численные значения. В реальной задаче конкретный вид кривой зависит от природы молекул, но минимум и общий ход зависимости сохраняются.

Разбор задач

Задача 1. Изменение энергии при сближении

Условие. По графику U(r) определить, как изменяется энергия пары молекул при сближении из области r > r₀ до r = r₀ и при дальнейшем сближении. Нужно использовать качественный ход кривой, а не искать точные числа.

1. Справа от минимума, при r > r₀, молекулы притягиваются. При движении к r₀ график опускается, поэтому U уменьшается и становится более отрицательной.
2. В точке r = r₀ график достигает минимума. Здесь потенциальная энергия имеет наименьшее значение, а равнодействующая сила равна нулю.
3. При дальнейшем сближении, когда r < r₀, начинает преобладать отталкивание. Кривая резко поднимается, поэтому U быстро увеличивается и при очень малых r может стать положительной.

Ответ. При сближении до r₀ энергия уменьшается до минимума, а после прохождения r₀ резко возрастает. Это изменение отражает переход от притяжения к сильному отталкиванию.

Задача 2. Направление силы по графику

Условие. Определить направление силы взаимодействия при трёх положениях: слева от минимума, в минимуме и справа от минимума. Известна связь F = −dU/dr.

1. Слева от минимума при увеличении r график идёт вниз, поэтому dU/dr < 0. С учётом минуса F > 0: сила направлена к большим r, то есть молекулы отталкиваются.
2. В минимуме касательная к графику горизонтальна, поэтому dU/dr = 0. Следовательно, F = 0, и положение соответствует равновесию.
3. Справа от минимума при увеличении r график идёт вверх, поэтому dU/dr > 0. Тогда F < 0: сила направлена к меньшим r, то есть молекулы притягиваются.

Ответ. Слева от минимума действует отталкивание, в минимуме сила равна нулю, справа действует притяжение. Направление нельзя определять без учёта знака минус в формуле.

Задача 3. Работа при разделении молекул

Условие. Энергия взаимодействия двух молекул на расстоянии r₁ равна −E₀. На большом расстоянии энергию считают равной нулю. Найти работу внешней силы при медленном разделении молекул.

1. Начальное состояние имеет энергию U₁ = −E₀, конечное состояние после полного разделения — U₂ = 0.
2. Находим изменение потенциальной энергии: ΔU = U₂ − U₁ = 0 − (−E₀) = E₀.
3. Разделение выполняется медленно, поэтому кинетическая энергия практически не меняется. Работа внешней силы полностью идёт на увеличение потенциальной энергии: A_внеш = ΔU.

Ответ. A_внеш = E₀. Положительная работа означает, что внешняя сила передала молекулам энергию, достаточную для выхода из связанного состояния на уровень U = 0.

Типичные ошибки

Отрицательная энергия невозможна. Так считают, потому что смешивают знак величины с количеством энергии. Потенциальная энергия отсчитывается от выбранного нуля; проверьте, где расположен нулевой уровень и ниже ли него находится связанное состояние.

Минимум энергии — это максимальная сила. Ошибка возникает при отождествлении глубины потенциальной ямы с наклоном графика. В минимуме производная равна нулю, поэтому нужно проверить именно наклон, а не расстояние до нулевого уровня.

При любом сближении действует притяжение. Такое утверждение забывает о перекрывании электронных оболочек на малых расстояниях. Сравните r с r₀: слева от равновесия преобладает отталкивание.

Забывается минус в F = −dU/dr. Из-за этого направление силы получают противоположным. Сначала определите знак наклона графика при движении вправо, затем измените его на противоположный.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны работа силы, потенциальная энергия и закон сохранения механической энергии. Она опирается на представления о силах межмолекулярного взаимодействия и строении вещества. Энергия взаимодействия помогает объяснить агрегатные состояния, испарение, конденсацию, плавление и прочность тел: все эти процессы связаны с изменением расстояний между частицами и затратами энергии.

Что запомнить

• Потенциальная энергия молекул зависит от расстояния между ними.
• Обычно принимают U = 0 при бесконечном удалении молекул.
• В области притяжения потенциальная энергия пары отрицательна.
• Минимум U(r) соответствует равновесному расстоянию молекул.
• Сила направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.
• При очень малых расстояниях энергия быстро возрастает из-за сильного отталкивания.
• Глубина потенциальной ямы характеризует энергию, необходимую для разделения связанных молекул.