§ 9.1. Тепловое расширение тел

Определения и обозначения

Тепловое расширение — изменение размеров тела при изменении температуры. Обычно при нагревании размеры увеличиваются, а при охлаждении уменьшаются. Это понятие нужно, чтобы предсказывать поведение деталей, конструкций и сосудов.

Линейное расширение — изменение длины тела при нагревании или охлаждении. Его рассматривают для стержней, проволок, рельсов и других тел, у которых особенно важен один размер. Так можно рассчитать удлинение или укорочение детали.

Коэффициент линейного расширения — величина, характеризующая относительное изменение длины при изменении температуры на один градус. Его обозначают α и измеряют в К⁻¹. Чем больше α, тем заметнее изменяется длина тела при одинаковом нагревании.

Объёмное расширение — изменение объёма тела при изменении температуры. Для него используют коэффициент объёмного расширения β. Это описание особенно важно для жидкостей и газов, которые не сохраняют собственную форму.

Как это устроено

При повышении температуры частицы тела получают больше энергии и движутся интенсивнее. Силы взаимодействия между соседними частицами несимметричны: при сближении они обычно возрастают быстрее, чем ослабевают при удалении. Поэтому частицы колеблются около нового среднего положения, а средние расстояния между ними увеличиваются. Совокупность таких изменений и даёт расширение всего тела.

Для стержня при небольшом изменении температуры используют формулу Δl = αl₀ΔT. Здесь Δl — изменение длины, α — коэффициент линейного расширения вещества, l₀ — начальная длина, а ΔT = T₂ − T₁ — изменение температуры. Формула приближённая: она применима, когда тело однородно, коэффициент α можно считать постоянным, а изменение температуры не слишком велико.

Объёмное расширение твёрдого тела описывается формулой ΔV = βV₀ΔT. В ней ΔV — изменение объёма, β — коэффициент объёмного расширения, V₀ — начальный объём, а ΔT — изменение температуры. Для однородного изотропного тела, свойства которого одинаковы по всем направлениям, каждый линейный размер меняется примерно одинаково, поэтому β ≈ 3α.

Жидкость не имеет собственной формы и принимает форму сосуда, поэтому для неё главным образом рассматривают изменение объёма. При нагревании увеличивается не только объём жидкости, но и размеры сосуда. Наблюдаемое заполнение или вытекание определяется разностью этих двух расширений, а не только свойствами жидкости.

Газы расширяются значительно сильнее твёрдых тел и жидкостей, потому что расстояния между их частицами велики, а связи между частицами слабы. Однако объём газа зависит не только от температуры, но и от давления. Поэтому при нагревании газ может увеличить объём при почти постоянном давлении или повысить давление, если объём ограничен.

Виды теплового расширения и основные зависимости

Сначала определите, какой размер изменяется: длина или объём. Затем выберите соответствующий коэффициент и проверьте, заданы ли условия процесса для газа или расширение сосуда для жидкости.

Все величины в формулах должны быть выражены в согласованных единицах. При нагревании ΔT положительно, а при охлаждении отрицательно, поэтому знак результата показывает направление изменения размера.

Разбор задач

Изменение длины стальной рейки

Условие. Стальная рейка длиной 2 м нагревается на 50 °C. Коэффициент линейного расширения стали α = 1,2·10⁻⁵ К⁻¹. Найдём изменение длины.

1. Выбираем формулу линейного расширения: Δl = αl₀ΔT.
2. Подставляем значения: Δl = 1,2·10⁻⁵ · 2 · 50 м.
3. Вычисляем: Δl = 1,2·10⁻³ м = 1,2 мм. Единица К⁻¹ сокращается с единицей изменения температуры.

Ответ: рейка удлинится на 1,2 мм.

Конечная длина медного провода

Условие. Медный провод длиной 10 м нагревают на 80 °C; α = 1,7·10⁻⁵ К⁻¹. Требуется найти конечную длину, поэтому одного удлинения недостаточно.

1. Находим прирост длины: Δl = αl₀ΔT = 1,7·10⁻⁵ · 10 · 80 м = 0,0136 м.
2. Начальная длина и удлинение складываются: l = l₀ + Δl.
3. Получаем l = 10 м + 0,0136 м = 10,0136 м.

Ответ: конечная длина провода равна 10,0136 м.

Жидкость в нагревающемся сосуде

Условие. Стеклянный сосуд полностью заполнен жидкостью и нагревается на 40 °C. Нужно сравнить приросты объёмов и определить объём вытекшей жидкости. Обозначим начальный объём через V₀, коэффициенты жидкости и стекла — βж и βс.

1. Для жидкости вычисляем ΔVж = βжV₀ΔT, а для сосуда — ΔVс = βсV₀ΔT.
2. Если βж больше βс, жидкость увеличится сильнее, чем вместимость сосуда.
3. Разность приростов даёт объём вытекшей жидкости: Vвыт = ΔVж − ΔVс = (βж − βс)V₀ΔT.

Ответ: без численных коэффициентов объём выражается формулой Vвыт = (βж − βс)V₀ΔT; жидкость вытечет, если её расширение больше расширения сосуда.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять в формулу температуру тела, а не её изменение. Её допускают, когда путают конечную температуру с разностью температур; нужно вычислить ΔT = T₂ − T₁. Проверка проста: при одинаковых начальной и конечной температурах расширение должно быть нулевым.

Вторая ошибка — забывать начальный размер l₀ или V₀. Коэффициент показывает относительное изменение, поэтому абсолютный прирост зависит от исходной длины или объёма. Проверьте, что в формуле присутствует множитель начального размера.

Третья ошибка — смешивать коэффициенты α и β. α относится к длине, а β — к объёму; замена одного коэффициента другим допустима только при обосновании связи β ≈ 3α для изотропного твёрдого тела. Полезно сначала записать, что именно изменяется.

Четвёртая ошибка — не учитывать расширение сосуда с жидкостью. Из-за этого весь прирост жидкости ошибочно принимают за вытекший объём. Нужно отдельно найти расширение жидкости и сосуда, а затем вычислить их разность.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны перевод единиц длины, площади и объёма, вычисление разности температур и научная запись чисел. Например, 0,001 м = 1 мм, а коэффициенты обычно записывают как числа, умноженные на 10⁻⁵ К⁻¹.

Тема опирается на молекулярно-кинетические представления: температура связана с движением частиц, а расширение — с изменением средних расстояний между ними. Практическое значение явления видно при расчёте мостов, рельсов, трубопроводов, термометров и биметаллических пластин.

Что запомнить

• При нагревании большинство тел расширяется, а при охлаждении сжимается.
• Тепловое расширение связано с увеличением средних расстояний между частицами.
• Линейное расширение описывается формулой Δl = αl₀ΔT.
• Объёмное расширение описывается формулой ΔV = βV₀ΔT.
• Коэффициент расширения зависит от вещества.
• У жидкостей и газов главным образом рассматривают изменение объёма.
• При нагревании жидкости необходимо учитывать расширение сосуда.