§ 1.17. Преломление на сферической поверхности

Определения и обозначения

Сферическая преломляющая поверхность — граница двух прозрачных сред, имеющая форму части сферы. При переходе через неё свет меняет направление из-за различия показателей преломления. Такая поверхность является главным объектом расчёта изображения.

Сферический диоптр — оптическая система из двух сред, разделённых сферической преломляющей поверхностью. Слово «диоптр» обозначает именно одну границу сред, а не линзу целиком. Его используют как простейшую модель реальных оптических систем.

Оптическая ось — прямая, проходящая через центр сферы и вершину преломляющей поверхности. Вершина — точка, где поверхность пересекает ось, а центр сферы задаёт её кривизну. Относительно этой оси определяют положение предмета, изображения и лучей.

Параксиальный луч проходит вблизи оптической оси и образует с ней малый угол. Для него можно считать sin α ≈ α и tg α ≈ α, если углы выражены в радианах. Поэтому построение изображения становится достаточно простым и точным в области оси.

Как это устроено

Точный луч после преломления подчиняется закону n₁ sin i = n₂ sin r. Но для лучей, идущих далеко от оси, углы и точки пересечения лучей зависят от высоты падения, поэтому изображение получается размытым. Параксиальные лучи выбирают потому, что при малых углах синусы можно заменить самими углами, а все лучи дают почти одну точку изображения.

Рассмотрим луч, падающий на поверхность в точке, близкой к оси. Нормаль к сферической поверхности в этой точке проходит через центр сферы, поэтому угол падения связан с наклоном луча и радиусом R. Геометрия треугольника лучей даёт приближённое соотношение между этими углами, а закон преломления связывает угол падения i с углом преломления r: n₁i ≈ n₂r.

Чтобы не разбирать отдельно левую и правую стороны, вводят алгебраические расстояния. Выберем положительное направление по ходу света, поместим начало отсчёта в вершину поверхности и будем считать расстояния вправо положительными. Тогда реальный предмет перед поверхностью обычно имеет a < 0, действительное изображение после поверхности — b > 0, а знак R показывает положение центра кривизны.

Подстановка геометрических выражений для малых углов в закон преломления приводит к формуле n₂/b − n₁/a = (n₂ − n₁)/R. Она учитывает сразу обе среды, положение предмета и кривизну поверхности. Если предмет или изображение мнимые, их расстояния просто получают соответствующий отрицательный знак в той же системе отсчёта.

Фокус со стороны изображения находят, удаляя предмет на бесконечность: a → −∞, поэтому n₁/a стремится к нулю и f₂ = n₂R/(n₂ − n₁). Фокус со стороны предмета соответствует изображению на бесконечности: b → ∞, поэтому f₁ = −n₁R/(n₂ − n₁). Поверхность называют собирающей, если параллельные лучи после преломления сходятся, и рассеивающей, если они расходятся; это определяется знаками n₂ − n₁ и R.

Основные величины и случаи преломления на сферической поверхности

В таблице собраны обозначения, которые входят в формулу сферического диоптра. Перед подстановкой нужно выбрать направление отсчёта и определить знак каждого расстояния. Особенно важно не заменять алгебраические величины их модулями.

Разбор задач

1. Положение изображения

Сферическая поверхность радиусом 20 см разделяет воздух с n₁ = 1 и стекло с n₂ = 1,5. Пусть свет идёт слева направо, центр сферы находится справа, а реальный предмет расположен слева на расстоянии 60 см. Тогда R = 20 см и a = −60 см.

1. Записываем формулу: 1,5/b − 1/(−60) = (1,5 − 1)/20.
2. Вычисляем правую часть: 0,5/20 = 0,025. Поэтому 1,5/b + 0,0167 = 0,025.
3. Получаем 1,5/b = 0,00833, откуда b = 180 см. Положительный знак означает действительное изображение в стекле.

Ответ: изображение находится на расстоянии 180 см справа от поверхности.

2. Фокусные расстояния

Для произвольных n₁, n₂ и R нужно рассмотреть два предельных случая. Удалённый предмет даёт параллельные лучи, а изображение на бесконечности означает, что после поверхности лучи идут параллельно. Эти случаи нельзя смешивать, потому что фокусы относятся к разным сторонам системы.

1. При a → −∞ член n₁/a исчезает: n₂/f₂ = (n₂ − n₁)/R, поэтому f₂ = n₂R/(n₂ − n₁).
2. При b → ∞ исчезает n₂/b: −n₁/f₁ = (n₂ − n₁)/R, поэтому f₁ = −n₁R/(n₂ − n₁).
3. По модулям |f₁|/|f₂| = n₁/n₂. Следовательно, при разных показателях преломления фокусные расстояния обычно не равны.

Ответ: f₂ = n₂R/(n₂ − n₁), f₁ = −n₁R/(n₂ − n₁), а отношение модулей равно n₁/n₂.

3. Нахождение неизвестной величины

Если известны положения предмета и изображения, радиус можно найти без нового закона: достаточно преобразовать основную формулу. Например, из n₂/b − n₁/a = (n₂ − n₁)/R следует R = (n₂ − n₁)/(n₂/b − n₁/a). Если неизвестен n₂, переносим содержащие его слагаемые в одну сторону и получаем n₂(1/b − 1/R) = n₁(1/a − 1/R), то есть n₂ = n₁(1/a − 1/R)/(1/b − 1/R).

1. Сначала записываем все расстояния со знаками выбранной системы отсчёта.
2. Затем выбираем выражение для нужной неизвестной и подставляем величины в одинаковых единицах.
3. После вычисления проверяем знак: он должен согласовываться с положением центра, изображения или допустимым показателем преломления.

Ответ: неизвестный радиус или показатель находят алгебраическим преобразованием основной формулы, а физический смысл проверяют по полученному знаку и размерности.

Типичные ошибки

Подстановка обычных положительных расстояний вместо алгебраических меняет знак одного из слагаемых. Ошибку допускают, потому что в условии часто указаны только модули расстояний. Проверка проста: заранее нарисуйте ось, задайте положительное направление и подпишите a, b, R.

Радиус кривизны иногда путают с диаметром или меняют его знак без изменения системы отсчёта. Радиус — это расстояние от вершины до центра сферы, а не до противоположной точки поверхности. Проверьте, где находится центр относительно направления распространения света.

Формулу сферической поверхности ошибочно заменяют формулой тонкой линзы. У сферического диоптра только одна граница, поэтому в уравнении присутствуют n₁ и n₂, а не только фокусное расстояние. Сверьте, сколько преломляющих поверхностей дано в условии.

Результат для параксиальных лучей применяют к лучам, падающим под большими углами. При больших углах приближения sin α ≈ α и tg α ≈ α уже неточны, а лучи могут пересекаться в разных точках. Значит, сначала нужно убедиться, что рассматриваются лучи около оптической оси.

Связь с другими темами

Для изучения сферического диоптра нужны закон преломления, понятие показателя преломления, построение лучей и приближение малых углов. Без знаков углов и расстояний невозможно правильно вывести общую формулу.

Сферический диоптр служит основой для вывода формулы тонкой линзы. Линзу можно рассматривать как систему двух преломляющих поверхностей, последовательно изменяющих направление лучей.

Эти результаты применяют при анализе объективов, микроскопов, зрительной системы и других приборов. В каждом случае отдельные поверхности вносят вклад в построение общего изображения.

Что запомнить

• Сферический диоптр — граница двух сред со сферической формой.
• Расчёт изображения выполняют преимущественно для параксиальных лучей.
• Положение изображения зависит от n₁, n₂, расстояния до предмета и радиуса кривизны.
• Основная формула: n₂/b − n₁/a = (n₂ − n₁)/R.
• Знаки a, b и R определяются выбранной системой отсчёта.
• При плоской границе R стремится к бесконечности, и формула переходит к закону преломления на плоской поверхности.
• Сферическая поверхность может действовать как собирающая или рассеивающая в зависимости от показателей преломления и направления кривизны.