§ 1.18. Линза

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями и способное изменять направление света. Поверхности могут быть сферическими или близкими к ним по форме. Линза нужна, чтобы собирать или рассеивать свет и получать изображения предметов.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны преломляющих поверхностей. Оптический центр — точка внутри линзы, через которую луч в приближении тонкой линзы проходит без изменения направления. Эти элементы служат основой для изображения схемы линзы и построения хода лучей.

Главный фокус — точка на главной оптической оси, в которой после преломления пересекаются лучи, шедшие параллельно оси, или их продолжения. У собирающей линзы лучи действительно встречаются в этой точке. У рассеивающей линзы фокус находят по обратным продолжениям лучей.

Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра до главного фокуса. Оптическая сила D определяется формулой D = 1/F, где F выражено в метрах, и измеряется в диоптриях. Эти величины показывают, насколько быстро линза изменяет ход лучей.

Как это устроено

Когда свет переходит из воздуха в материал линзы, его скорость меняется, поэтому луч преломляется. Наклон поверхности определяет направление этого отклонения, а две поверхности действуют последовательно. Если поверхности выпуклые и расположены так, что отклонения направлены к оси, параллельный пучок становится сходящимся.

Такую линзу называют собирающей, потому что после неё лучи могут встретиться в одной точке. Эта точка расположена за линзой и является действительным фокусом: в нём действительно сходятся световые лучи. Обычно собирающая линза толще в середине, но вид сам по себе не заменяет проверку по ходу лучей.

У рассеивающей линзы поверхности отклоняют лучи от главной оси, поэтому параллельный пучок после преломления расходится. Реальные лучи за линзой не пересекаются, но их продолжения назад встречаются в точке перед линзой. Поэтому такой фокус называют мнимым: он задаётся пересечением продолжений, а не местом прохождения света.

Луч через оптический центр тонкой линзы считают не отклоняющимся, потому что преломление на первой поверхности почти компенсируется преломлением на второй. Толщиной линзы и небольшим боковым смещением при этом пренебрегают. Благодаря этому для построения изображения достаточно провести такой луч прямо, не вычисляя углы преломления.

Чем меньше по модулю фокусное расстояние, тем сильнее линза изменяет направление лучей. Это отражается в формуле D = 1/F: при уменьшении |F| увеличивается |D|. Знак величины показывает тип линзы: у собирающей F и D положительны, а у рассеивающей они отрицательны.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Таблицу удобно использовать как алгоритм распознавания: сначала проследите за параллельным пучком, затем определите положение фокуса. После этого знак F и D выбирается без дополнительного запоминания. Форма линзы даёт предварительную подсказку, но решающим признаком остаётся ход лучей.

Разбор задач

Задача 1

Параллельный пучок после первой линзы сходится, а после второй расходится. Требуется определить тип каждой линзы и положение фокуса. Рассматриваем пучок, направленный вдоль главной оптической оси.

1. Сходящийся после линзы пучок означает, что первая линза является собирающей.
2. Её главный фокус находится за линзой, в точке действительного пересечения лучей.
3. Расходящийся пучок означает, что вторая линза является рассеивающей.
4. Её фокус находится перед линзой и является мнимым: в нём пересекаются обратные продолжения лучей.

Ответ: первая линза — собирающая, с действительным фокусом за линзой; вторая — рассеивающая, с мнимым фокусом перед линзой.

Задача 2

Предмет расположен перед собирающей линзой на расстоянии 2F, где F — фокусное расстояние. Нужно построить изображение с помощью двух главных лучей. Выбираем лучи, направление которых после линзы можно определить без измерений углов.

1. Из верхней точки предмета проводим луч параллельно главной оптической оси; после линзы он проходит через дальний фокус.
2. Второй луч проводим через оптический центр; в приближении тонкой линзы он продолжает идти прямо.
3. Точка пересечения этих лучей задаёт верхнюю точку изображения, а от неё опускаем перпендикуляр на ось.
4. При положении предмета 2F изображение получается на расстоянии 2F по другую сторону линзы, действительным, перевёрнутым и равным предмету.

Ответ: изображение находится за линзой на расстоянии 2F; оно действительное, перевёрнутое, а линейное увеличение по модулю равно 1.

Задача 3

Собирающая линза имеет F = 20 см, предмет расположен на расстоянии a = 60 см. Требуется найти расстояние b до действительного изображения, оптическую силу D и линейное увеличение. Сначала переводим длины в метры, потому что оптическая сила измеряется в диоптриях.

1. Используем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b.
2. Подставляем значения: 1/20 = 1/60 + 1/b, поэтому 1/b = 1/30 и b = 30 см.
3. Переводим фокусное расстояние: F = 0,20 м, значит D = 1/0,20 = 5 дптр.
4. Линейное увеличение m = −b/a = −30/60 = −0,5. Минус означает перевёрнутое изображение, а модуль 0,5 — его размер вдвое меньше предмета.

Ответ: расстояние до изображения b = 30 см, оптическая сила D = 5 дптр, увеличение m = −0,5. Изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Типичные ошибки

Линзу часто называют собирающей или рассеивающей только по внешнему виду. Ошибка возникает потому, что в задачах встречаются необычные формы и разные окружающие среды. Проверьте себя по параллельному пучку: сходится он или расходится после линзы.

Фокус рассеивающей линзы иногда считают точкой реального пересечения лучей. На самом деле за линзой лучи расходятся, а пересекаются лишь их обратные продолжения. Мысленно продлите лучи назад и проверьте, где пересекутся именно эти продолжения.

Фокусное расстояние путают с радиусом или диаметром линзы. Это расстояние измеряют не по самой линзе, а от оптического центра до главного фокуса вдоль оптической оси. На схеме сначала отметьте центр, затем отложите от него расстояние до фокуса.

В формулу D = 1/F подставляют F в сантиметрах и получают неверные диоптрии. Причина в том, что диоптрия связана с метром, а не с сантиметром. Перед вычислением переведите, например, 20 см в 0,20 м.

Связь с другими темами

Для понимания линзы нужны законы преломления света и показатель преломления: именно они объясняют изменение направления луча на границе сред. Полезно также уметь строить ход лучей после преломления.

Знание свойств линз позволяет строить изображения, выводить формулу тонкой линзы и находить увеличение. Эти действия связывают геометрическую оптику с расчётами.

Линзы и оптическая сила используются при изучении глаза и очков, а также фотоаппарата, микроскопа и телескопа. В каждом приборе линзы меняют направление лучей и формируют нужное изображение.

Что запомнить

• Собирающая линза превращает параллельный пучок в сходящийся.
• Рассеивающая линза превращает параллельный пучок в расходящийся.
• Луч через оптический центр тонкой линзы считают не отклоняющимся.
• Фокусное расстояние измеряют от оптического центра до главного фокуса.
• Оптическая сила линзы D = 1/F, где F выражено в метрах.
• Единица оптической силы — диоптрия.
• Для собирающей линзы оптическая сила положительна, для рассеивающей — отрицательна.