§ 1.19. Фокусное расстояние и оптическая сила линзы

Определения и обозначения

Главный фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после преломления собираются лучи, шедшие параллельно оси, или из которой они кажутся выходящими. У собирающей линзы лучи действительно проходят через фокус, а у рассеивающей его находят продолжением расходящихся лучей. Это понятие позволяет описывать поведение параллельного пучка.

Фокусное расстояние линзы — расстояние от её оптического центра до главного фокуса; обозначают его F. Для собирающей линзы F считают положительным, для рассеивающей — отрицательным. Знак нужен, чтобы в формулах учитывать, сходятся лучи или расходятся.

Оптическая сила линзы — величина, характеризующая способность линзы преломлять свет. Она равна обратному фокусному расстоянию, выраженному в метрах: D = 1/F. Чем больше модуль D, тем заметнее линза меняет направление лучей.

Диоптрия — единица измерения оптической силы. Линза с F = 1 м имеет оптическую силу 1 дптр. Диоптрия соответствует обратному метру: 1 дптр = 1 м⁻¹, поэтому фокусное расстояние в диоптриях не измеряют.

Как это устроено

Параллельные главной оптической оси лучи после собирающей линзы преломляются к оси и пересекаются в главном фокусе. Это происходит потому, что форма линзы меняет направление разных участков светового пучка так, что лучи сближаются. После рассеивающей линзы лучи, наоборот, отклоняются от оси и расходятся; пересечься могли бы лишь их продолжения перед линзой. Поэтому фокус такой линзы называют мнимым.

У линзы есть два главных фокуса, расположенных по разные стороны от неё. Если направить параллельный пучок сначала с одной стороны, он даст фокус с другой стороны; если поменять направление света, фокусы поменяются ролями. Такая симметрия связана с обратимостью хода световых лучей: путь луча не меняется, если пустить свет по нему в обратном направлении. При одинаковой среде по обе стороны линзы оба фокуса равноудалены от её оптического центра.

Фокусное расстояние показывает, на каком расстоянии от линзы собирается или кажущимся образом собирается параллельный пучок. Если линза сильнее меняет направление лучей, они быстрее сходятся либо расходятся, поэтому фокус оказывается ближе к линзе. Значит, сильное преломление соответствует меньшему модулю F. У слабой линзы лучи меняют направление меньше и фокус располагается дальше.

Оптическую силу вводят, чтобы удобнее сравнивать линзы по действию на свет: расстояние до фокуса само по себе меняется обратно силе линзы. Если F измерено в метрах, это соотношение записывают как D = 1/F. Например, при F = 0,5 м получаем D = 2 дптр, а при F = 2 м — D = 0,5 дптр. Чем меньше модуль фокусного расстояния, тем больше модуль оптической силы.

Знак оптической силы следует из знака фокусного расстояния. У собирающей линзы F положительно, поэтому и D положительно; у рассеивающей обе величины отрицательны. Знак не показывает, насколько сильно линза преломляет свет: для этого сравнивают модули D. Так можно отдельно определить тип линзы и силу её действия.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Сначала определите, сходятся лучи после линзы или расходятся: это укажет на тип линзы и положение её фокуса. Затем проверьте знак F и D — у них одинаковые знаки. Для сравнения силы действия двух линз сопоставляйте модули оптических сил.

Разбор задач

Задача 1. Оптическая сила собирающей линзы равна 4 дптр. Найдите её фокусное расстояние. Чтобы найти расстояние, нужно преобразовать формулу D = 1/F: F = 1/D. Сначала подставим значение в диоптриях, а затем переведём метры в сантиметры.

1. Запишем формулу для фокусного расстояния: F = 1/D.
2. Подставим D = 4 дптр: F = 1/4 м = 0,25 м.
3. Переведём результат: 0,25 м = 25 см. Собирающая линза имеет положительное фокусное расстояние.

Ответ: F = 0,25 м = 25 см.

Задача 2. Рассеивающая линза имеет фокусное расстояние −0,25 м. Найдите её оптическую силу и укажите знак. Фокусное расстояние уже задано в метрах, поэтому его можно подставить напрямую. Отрицательный знак сохраняем: он указывает на рассеивающую линзу.

1. Используем формулу D = 1/F.
2. Подставим F = −0,25 м: D = 1/(−0,25 м) = −4 м⁻¹.
3. Поскольку 1 м⁻¹ = 1 дптр, получаем D = −4 дптр.

Ответ: оптическая сила равна −4 дптр; знак отрицательный.

Задача 3. Для первой линзы D₁ = 2 дптр, для второй D₂ = −5 дптр. Сравните их фокусные расстояния и выясните, какая линза сильнее преломляет свет. Знак D позволит определить тип каждой линзы, а обратная формула даст её F. Для сравнения силы действия нужно сопоставить модули оптических сил.

1. Для первой линзы: F₁ = 1/D₁ = 1/2 м = 0,5 м. Положительный знак означает, что линза собирающая.
2. Для второй: F₂ = 1/D₂ = 1/(−5) м = −0,2 м. Отрицательный знак означает, что линза рассеивающая.
3. Модули оптических сил равны 2 дптр и 5 дптр; поскольку 5 больше 2, вторая линза сильнее преломляет свет. При этом |F₂| меньше |F₁|.

Ответ: F₁ = 0,5 м, F₂ = −0,2 м; сильнее действует вторая линза.

Типичные ошибки

Подставлять в D = 1/F фокусное расстояние в сантиметрах нельзя: формула даёт оптическую силу в диоптриях, только если F выражено в метрах. Ошибка возникает, когда забывают привести единицы к стандартным. Перед вычислением проверьте размерность и при необходимости разделите сантиметры на 100. Например, 25 см — это 0,25 м, а не 25 м.

Потеря знака F или D может превратить рассеивающую линзу в собирающую в расчётах. Обычно знак пропускают, когда сразу подставляют модуль величины. Определите тип линзы по ходу лучей и запишите знак до вычислений: у собирающей он положительный, у рассеивающей — отрицательный. В конце проверьте, что знаки F и D совпадают.

Неверно считать, что большему фокусному расстоянию отвечает большая оптическая сила. Такие величины связаны обратной зависимостью: при увеличении |F| модуль D уменьшается. Ошибка появляется, если не заметить обратную связь в формуле D = 1/F. Проверьте себя: линза с коротким фокусным расстоянием сильнее преломляет свет.

Диоптрию иногда ошибочно называют единицей фокусного расстояния. Но в диоптриях измеряют оптическую силу, а F выражают в метрах, сантиметрах или других единицах длины. Путаница связана с тем, что эти величины входят в одну формулу. Проверка проста: у D размерность обратной длины, у F — длины.

Связь с другими темами

Чтобы понять действие линзы, нужно знать, как преломляются световые лучи, и уметь находить главную оптическую ось. Ось служит ориентиром: относительно неё определяют, параллельны ли падающие лучи и где располагается главный фокус. Представление о ходе лучей помогает различать собирающую и рассеивающую линзы.

Фокусное расстояние и оптическая сила понадобятся при построении изображений и решении задач по формуле тонкой линзы. Фокус помогает строить характерные лучи, а знак и значение F позволяют подставлять параметры линзы в расчёты. Через оптическую силу удобно сравнивать линзы и связывать свойства оптической системы с её действием на свет.

Что запомнить

• Главный фокус собирающей линзы — место пересечения лучей, параллельных главной оптической оси.
• У рассеивающей линзы параллельные оси лучи после преломления расходятся.
• Фокусное расстояние измеряют от оптического центра линзы до главного фокуса.
• Оптическая сила линзы равна обратному фокусному расстоянию: D = 1/F.
• В формуле оптической силы фокусное расстояние выражают в метрах.
• Единица оптической силы — диоптрия; 1 дптр = 1 м⁻¹.
• Оптическая сила собирающей линзы положительна, а рассеивающей — отрицательна.