§ 1.20. Построение изображений в тонкой линзе. Увеличение линзы

Определения и обозначения

Тонкая линза — оптическая система, толщиной которой пренебрегают по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей и расстояниями до предмета и изображения. Благодаря этому преломление удобно считать происходящим в одной плоскости. Такая модель упрощает построение и расчёты.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. На ней отмечают оптический центр и фокусы. Она служит основной линией, относительно которой определяют положение предмета и изображения.

Главный фокус — точка на главной оптической оси, в которой после линзы пересекаются параллельные оси лучи или их продолжения. У собирающей линзы лучи сходятся в фокусе, а у рассеивающей — расходятся так, будто вышли из него. Фокус позволяет быстро строить ход главных лучей.

Линейное увеличение линзы — отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета: Γ = h′/h. Оно показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета, а знак указывает его ориентацию. При расчётах также используют связь |Γ| = b/a, где a и b — расстояния до предмета и изображения.

Как это устроено

Идеализированная тонкая линза преломляет лучи на границах стекла и воздуха, поэтому направление луча после линзы отличается от исходного. В реальных системах строго одинаково ведут себя только лучи, проходящие близко к главной оси: для них углы преломления малы, и приближение тонкой линзы работает лучше. Поэтому при построении используют параксиальные лучи, то есть лучи, расположенные около оси.

Луч через оптический центр считают не отклоняющимся, потому что в тонкой линзе преломления на двух поверхностях практически компенсируются. Луч, идущий параллельно главной оси, после собирающей линзы проходит через её фокус: линза направляет такие лучи к одной точке. Обратное правило также верно: луч, направленный через фокус к собирающей линзе, выходит параллельно оси.

Чтобы получить точку изображения, достаточно построить два особых луча, вышедших из одной точки предмета. Если они пересеклись после линзы, их общая точка задаёт действительное изображение; если пересекаются лишь продолжения лучей назад, изображение мнимое. Третий луч используют как проверку: он должен пройти через ту же точку. Для стрелки сначала находят изображение её вершины, затем проводят отрезок до изображения основания на оси.

У собирающей линзы расстояние предмета до линзы сравнивают с F и 2F. При удалении предмета изображение перемещается ближе к фокусу, а при приближении предмета к F изображение удаляется и увеличивается. Если предмет оказался между линзой и F, прошедшие лучи расходятся, поэтому пересекаются только их продолжения: изображение получается прямым и мнимым.

Изображения, создаваемые собирающей и рассеивающей линзами

Сначала определите тип линзы и положение предмета относительно F и 2F, затем найдите строку таблицы. Слово «действительное» означает, что изображение можно получить на экране, а «мнимое» — что видим его по продолжениям лучей. Увеличение больше единицы означает увеличение, меньше единицы — уменьшение.

Разбор задач

Задача 1. Построение изображения

Стрелка расположена перед собирающей линзой дальше двойного фокусного расстояния. Требуется определить свойства изображения графически.

1. Из вершины стрелки проведём луч, параллельный главной оси; после линзы он направится через дальний фокус.
2. Проведём второй луч через оптический центр; в принятой модели он продолжит путь без отклонения.
3. Пересечение лучей окажется между F и 2F. Основание изображения лежит на оси, поэтому полученная стрелка будет перевёрнутой и меньшей.

Ответ: изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное; оно расположено между F и 2F.

Задача 2. Расчёт расстояния и увеличения

Предмет находится на расстоянии a = 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. Найдём расстояние b до изображения и линейное увеличение.

1. Используем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b.
2. Подставим данные: 1/b = 1/10 − 1/30 = 1/15, поэтому b = 15 см.
3. По модулю увеличение равно b/a: |Γ| = 15/30 = 0,5. Так как предмет дальше 2F, изображение действительное и перевёрнутое, значит Γ = −0,5.

Ответ: изображение находится на расстоянии 15 см за линзой, Γ = −0,5; оно уменьшено в два раза и перевёрнуто.

Задача 3. Известны увеличение и расстояние до изображения

Собирающая линза дала действительное перевёрнутое изображение, увеличенное в 2 раза, на расстоянии b = 40 см. Определим положение предмета и фокусное расстояние.

1. Для действительного перевёрнутого изображения Γ = −2, поэтому b/a = 2 и a = 40/2 = 20 см.
2. Подставим расстояния в формулу: 1/F = 1/20 + 1/40 = 3/40.
3. Получаем F = 40/3 ≈ 13,3 см. Тогда 2F ≈ 26,7 см, а a = 20 см действительно лежит между F и 2F.

Ответ: предмет расположен на расстоянии 20 см от линзы, фокусное расстояние равно примерно 13,3 см; условие соответствует увеличенному действительному изображению.

Типичные ошибки

Путают собирающую и рассеивающую линзы, не учитывая направление преломления лучей и положение фокуса. Так происходит, если запоминают только форму линзы, но не проверяют, сходятся лучи или расходятся. Проверьте себя по фокусу: у собирающей линзы он действительный, у рассеивающей виден на продолжении лучей.

Строят изображение по одному лучу, хотя одной линии недостаточно для однозначного нахождения точки. Ошибка возникает потому, что первый луч уже задаёт возможное направление, но не точку пересечения. Проведите минимум два особых луча и убедитесь, что они встретились в одной точке.

Считают любое пересечение продолжений лучей действительным изображением. Продолжения показывают мнимое изображение, которое нельзя получить на экране. Для проверки проследите только за лучами после линзы: пересекаются сами лучи — изображение действительное, их продолжения — мнимое.

Используют модуль увеличения и забывают о знаке. Из-за этого перевёрнутое изображение ошибочно называют прямым. Записывайте Γ = h′/h с учётом знака: Γ < 0 означает перевёрнутое изображение, а модуль показывает только размер.

Связь с другими темами

До изучения линз нужны представления об отражении и преломлении света, фокусе и оптической оси, а также формула тонкой линзы. Построение изображений объясняет работу лупы, фотоаппарата, проектора, микроскопа и глаза. Далее эти правила используются при изучении оптических приборов, расчёте разрешающей способности и более сложных оптических систем.

Что запомнить

• Для построения изображения достаточно провести два особых луча.
• Луч через оптический центр тонкой линзы считают не отклоняющимся.
• У собирающей линзы положение изображения зависит от того, находится ли предмет дальше 2F, между F и 2F, в F или ближе F.
• Предмет в фокусе собирающей линзы даёт изображение на бесконечности.
• Рассеивающая линза образует мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
• Линейное увеличение равно отношению размера изображения к размеру предмета и по модулю связано с отношением расстояний до изображения и предмета.
• Знак увеличения показывает ориентацию изображения, а его модуль — степень увеличения или уменьшения.