"Физика. Оптика. Квантовая физика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Освещённость изображения показывает, сколько светового потока приходится на единицу площади изображения, которое создаёт линза. Она зависит от яркости предмета, диаметра действующего отверстия линзы и расстояния от линзы до изображения. Эти зависимости позволяют оценивать светосилу объектива и понимать, как диафрагма влияет на количество света в фотоаппарате, телескопе или другом оптическом приборе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Освещённость изображения — световой поток, падающий на единицу площади изображения; её обозначают E и измеряют в люксах (лк). Она показывает, насколько интенсивно освещён каждый участок изображения, а не сколько света испускает сам предмет. Поэтому E нужна, чтобы оценивать яркость полученного изображения в оптическом приборе.
Яркость объекта — величина, характеризующая световой поток, испускаемый объектом в данном направлении; её обозначают L. В отличие от освещённости изображения, яркость относится к самому предмету и показывает, насколько сильный поток от него приходит в выбранном направлении. В расчётах она задаёт исходное количество света, которое линза может направить на изображение.
Относительное отверстие линзы — отношение диаметра действующего отверстия D к фокусному расстоянию f, то есть D/f. Оно позволяет сравнивать объективы разных размеров: при прочих равных большее отношение означает более светосильную оптическую систему. Действующий диаметр может ограничиваться диафрагмой, поэтому он не всегда совпадает с полным диаметром линзы.
Светосила объектива — способность линзы создавать изображение с большой освещённостью. Она определяется диаметром отверстия и фокусным расстоянием, а для удалённого объекта связана с относительным отверстием D/f. Это понятие помогает понять, сколько света сможет собрать объектив и как его параметры скажутся на изображении.
Свет от объекта проходит через линзу и распределяется по площади изображения. Если через линзу проходит больший поток, на изображение поступает больше света; если тот же поток распределён по большей площади, на каждый участок приходится меньше. Поэтому освещённость определяется одновременно потоком, прошедшим через оптическую систему, и площадью, на которой он распределён.
Из точки изображения отверстие линзы видно под некоторым телесным углом — это мера того, насколько большим кажется отверстие в пространстве. При малых углах его величина пропорциональна площади отверстия, делённой на квадрат расстояния до изображения: Ω ≈ π(D/2b)². Площадь круглого отверстия пропорциональна D², поэтому увеличение диаметра вдвое позволяет собрать свет примерно в четыре раза интенсивнее. Именно этим объясняется зависимость освещённости от квадрата D.
Если изображение отодвинуть от линзы, отверстие будет выглядеть из его точки меньше. При увеличении b вдвое угловой размер отверстия уменьшается вдвое, а соответствующий телесный угол — в четыре раза. Свет распределяется по изображению слабее, поэтому освещённость убывает пропорционально 1/b². Эта закономерность действует при тех же условиях малых углов и неизменных яркости объекта и диаметре отверстия.
Для центральной части изображения при параксиальном приближении (когда лучи идут близко к главной оптической оси) освещённость можно выразить через яркость и телесный угол отверстия: E ≈ LΩ. Подстановка Ω ≈ π(D/2b)² даёт формулу E = πL(D/2b)². Из неё сразу видно, что E прямо пропорциональна L и квадрату D, а расстоянию b обратно пропорциональна в квадрате. Формула описывает центральную часть изображения и не означает, что освещённость по всему полю всегда одинакова.
Для тонкой линзы связь расстояний задаёт формула 1/f = 1/a + 1/b, где a — расстояние от предмета до линзы. Она позволяет найти b для конкретного предмета, после чего это значение подставляют в формулу освещённости. Если предмет удалён, a намного больше f, а изображение располагается почти в фокальной плоскости: b ≈ f. Тогда E = πL(D/2f)² = πL(D/f)²/4, поэтому освещённость удалённого изображения определяется относительным отверстием D/f.
Таблица показывает, как меняется освещённость, если изменять один параметр, сохраняя остальные условия. Сравнивая строки, следи за квадратной зависимостью от диаметра и расстояния: линейное изменение этих величин даёт более сильное изменение E. Для удалённого предмета удобно пользоваться относительным отверстием D/f.
| Изменяемый параметр | Изменение освещённости изображения | Физический смысл |
|---|---|---|
| Диаметр отверстия D увеличен в 2 раза | E увеличивается в 4 раза | Через линзу проходит больший световой поток |
| Расстояние до изображения b увеличено в 2 раза | E уменьшается в 4 раза | Угол, под которым видна линза из точки изображения, уменьшается |
| Яркость объекта L увеличена в 2 раза | E увеличивается в 2 раза | Каждая единица площади изображения получает больший световой поток |
| Для удалённого предмета b примерно равно f | E = πL(D/2f)² | Освещённость определяется относительным отверстием D/f |
| Относительное отверстие D/f одинаково у двух объективов | При одинаковой яркости объекта освещённости изображений примерно одинаковы | Отношение D/f задаёт светосилу при удалённом предмете |
| Диафрагма уменьшает D | Освещённость изображения уменьшается пропорционально квадрату уменьшения D | Регулирование диафрагмы позволяет управлять количеством света |
Задача 1. Яркость объекта L = 100 кд/м², диаметр отверстия линзы D = 4 см, расстояние от линзы до изображения b = 20 см. Найдём освещённость по формуле E = πL(D/2b)². Сначала приведём линейные размеры к метрам, чтобы корректно вычислить отношение D/2b.
Ответ: освещённость изображения примерно равна 3,14 лк. Проверка смысла результата: диаметр отверстия составляет небольшую долю расстояния до изображения, поэтому освещённость значительно меньше численного значения яркости. Люксы и кд/м² — разные единицы, так что напрямую сравнивать эти числа без формулы нельзя.
Задача 2. Фокусное расстояние линзы f = 10 см, предмет находится на расстоянии a = 30 см, диаметр отверстия D = 3 см, яркость L = 200 кд/м². Сначала найдём положение изображения: для близкого предмета нельзя сразу считать b равным f. Затем используем найденное b для вычисления освещённости.
Ответ: изображение находится на расстоянии 15 см от линзы, его освещённость примерно равна 6,28 лк. Значение b получилось больше фокусного расстояния, потому что предмет расположен на конечном, а не бесконечно большом расстоянии. Найденное положение изображения влияет на освещённость через квадрат отношения D/2b.
Задача 3. Для удалённого объекта с яркостью L = 80 кд/м² нужна освещённость не менее 50 лк; фокусное расстояние объектива f = 10 см. Найдём минимальный диаметр отверстия, а затем относительное отверстие. Удалённость предмета позволяет положить b ≈ f.
Ответ: минимальный диаметр отверстия — примерно 8,9 см, относительное отверстие — около 0,89. Величина 50 лк задана как требуемый минимум, поэтому найденный диаметр соответствует границе, при которой освещённость достигает этого значения. В реальном объективе действующий диаметр может ограничиваться конструкцией и диафрагмой.
Освещённость изображения иногда подменяют яркостью объекта. Это происходит потому, что обе величины связаны со светом, но они описывают разные вещи: E относится к падающему потоку на площади и измеряется в люксах, а L характеризует излучение объекта. Проверь себя: уточни, что именно измеряется и к какой части системы относится величина.
Ещё одна ошибка — считать E прямо пропорциональной D или обратно пропорциональной b. Так делают, когда забывают, что важны площадь отверстия и телесный угол, а они зависят от квадрата линейного размера. Для проверки выпиши формулу целиком: E = πL(D/2b)², затем отдельно возведи отношение в квадрат.
Для близкого предмета иногда подставляют f вместо b. Такое приближение удобно для удалённого объекта, но для конечного расстояния положение изображения задаётся формулой тонкой линзы. Перед вычислением освещённости проверь, насколько предмет удалён; если он близко, сначала найди b из 1/f = 1/a + 1/b.
Наконец, можно получить неверный результат из-за разных единиц или применения формулы за пределами её условий. В отношении D/2b диаметры и расстояния должны быть выражены в одинаковых единицах; формула относится к центральной части изображения и малым углам. Перед расчётом приведи величины к согласованным единицам и проверь, подходят ли условия задачи для параксиального приближения.
Для расчётов нужны формула тонкой линзы и понятие увеличения: они описывают, где возникает изображение и каковы его размеры. Также следует различать световой поток, яркость и освещённость, чтобы правильно понимать, какая величина задана в задаче. Это помогает связать свойства предмета с тем, сколько света получит его изображение.
Освещённость важна при изучении фотоаппарата, глаза, телескопа и других приборов, где линзы формируют изображение. Понимание связи с относительным отверстием пригодится при разборе диафрагмы, экспозиции и светосилы объективов. Эти зависимости также помогают оценивать, как параметры системы влияют на качество изображения.
Почему увеличение диаметра линзы в два раза увеличивает освещённость в четыре раза?
При неизменном расстоянии больший диаметр отверстия позволяет линзе собирать свет под большим телесным углом. Этот угол пропорционален площади отверстия, а площадь круга зависит от квадрата диаметра. Поэтому при увеличении D в 2 раза освещённость возрастает в 4 раза.
Когда в формуле освещённости можно заменить расстояние b фокусным расстоянием f?
Такую замену применяют для удалённого предмета, когда расстояние до него намного больше фокусного. Из формулы тонкой линзы следует, что изображение тогда образуется примерно в фокальной плоскости, то есть b ≈ f. Для близкого предмета расстояние b нужно находить отдельно.
Чем освещённость изображения отличается от яркости предмета?
Яркость L характеризует свет, который предмет испускает в заданном направлении, и измеряется в кд/м². Освещённость E показывает, какой световой поток падает на единицу площади изображения, и измеряется в люксах. Освещённость зависит не только от яркости, но и от параметров линзы и расстояния до изображения.
Почему два объектива с одинаковым относительным отверстием дают примерно одинаковую освещённость удалённого изображения?
Для удалённого предмета E = πL(D/2f)², поэтому при одинаковой яркости изображения освещённость определяется отношением D/f. Если это относительное отверстие одинаково у обоих объективов, их изображения получают примерно одинаковую освещённость.
Как изменится освещённость изображения при закрытии диафрагмы?
Диафрагма уменьшает действующий диаметр отверстия D, поэтому через линзу проходит меньше света. Освещённость пропорциональна D²: например, если диаметр уменьшить в 2 раза, освещённость станет в 4 раза меньше.
§ 1.21. Освещенность изображения, даваемого линзой
