§ 1.16. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Оптический путь — величина L = nl, где n — показатель преломления среды, а l — пройденное расстояние. Он показывает, насколько долго волна распространялась с учётом свойств среды. Поэтому при сравнении волн учитывают не только геометрические длины их маршрутов.

Разность хода — разность оптических путей двух волн до точки наблюдения: Δ = L₁ − L₂. Она определяет, в какой фазе волны встретятся. При Δ = mλ возникает максимум, а при Δ = (m + ½)λ — минимум интерференции.

Оптическая сила линзы D = 1/F, где F выражено в метрах. Её единица — диоптрия: 1 дптр = 1 м⁻¹. У собирающей линзы сила положительна, у рассеивающей — отрицательна.

Линейное увеличение Γ = h′/h — отношение размера изображения к размеру предмета. Модуль Γ показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета. Знак при выбранном соглашении указывает ориентацию изображения: отрицательный знак означает перевёрнутое изображение.

Как это устроено

Решение начинают с рисунка, потому что оптическая схема связывает условие с физическим явлением. На ней отмечают ось, линзу или границу сред, предмет, изображение, нормаль и направления лучей. После этого выписывают известные и искомые величины: так неизвестные не теряются, а формула выбирается осознанно.

Сначала нужно определить модель задачи: отражение, преломление, линза, интерференция или дифракция. У каждой модели свой главный закон и свой набор величин, поэтому внешне похожие задачи могут решаться по-разному. Например, угол у границы сред связан с законом преломления, а угол максимума решётки — с длиной волны и периодом решётки.

Рабочее уравнение получают из физического закона, а не выбирают по совпадению обозначений. Запишите закон, выразите из него искомую величину и только затем подставляйте числа. Такой порядок помогает увидеть, какие данные действительно нужны и не перепутать формулы максимума и минимума.

Единицы величин должны быть согласованы: в формуле тонкой линзы фокусное расстояние удобно выражать в метрах, если результат нужен в диоптриях. Нужно также соблюдать принятое знаковое соглашение для расстояний, фокусного расстояния и увеличения. Иначе правильное вычисление может дать неверную физическую интерпретацию.

После вычислений результат проверяют несколькими способами. Размерность должна совпадать с искомой величиной, схема — допускать полученное положение лучей или изображения, а предельные случаи — иметь разумный смысл. Например, при удалении предмета от собирающей линзы изображение приближается к фокусу, а sin θ в задаче о решётке не может быть больше единицы.

Типовые оптические задачи и последовательность их решения

Сначала найдите строку, соответствующую главному явлению в условии. Затем выпишите формулу из второго столбца и величины, которые нужно определить по схеме. Последний столбец используйте как обязательную проверку, а в комбинированной задаче повторяйте эту последовательность для каждого этапа.

Разбор задач

Задача 1. Предмет находится перед собирающей линзой с F = 10 см на расстоянии a = 30 см. Требуется найти положение, размер и характер изображения. Размер предмета в условии не указан, поэтому размер изображения выразим через высоту предмета h.

1. Переведём расстояния в метры: F = 0,10 м, a = 0,30 м. Для действительного предмета используем 1/F = 1/a + 1/b.
2. Найдём расстояние до изображения: 1/b = 10 − 3,33 = 6,67 м⁻¹, поэтому b ≈ 0,15 м, или 15 см.
3. Линейное увеличение по модулю равно |Γ| = b/a = 15/30 = 0,5. При знаковом соглашении Γ = −0,5, значит изображение перевёрнуто и вдвое меньше.
4. Так как предмет расположен дальше двойного фокуса, изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы по другую сторону от предмета; его высота равна 0,5h, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Задача 2. На решётку с периодом d падает монохроматический свет, а максимум m-го порядка наблюдается под углом θ. Нужно определить длину волны. Из условия d sin θ = mλ выразим λ = d sin θ/m, предварительно переведя d в метры.

1. Запишем известные величины d, θ и m, не смешивая единицы длины.
2. Подставим их в λ = d sin θ/m и вычислим длину волны.
3. Проверим порядок: для данного угла должно выполняться mλ/d = sin θ ≤ 1. Если условие нарушено, значит ошибочно выбраны единицы, порядок или сам максимум.

Ответ: длина волны определяется формулой λ = d sin θ/m, а её физический смысл проверяется по полученному диапазону и допустимости выбранного порядка.

Задача 3. Свет проходит через два оптических элемента, поэтому результат первого этапа становится исходными данными второго. Сначала по параметрам первого элемента находят его изображение, а затем рассматривают это изображение как предмет для второго элемента.

1. Для первого элемента строим схему и применяем соответствующий закон, например формулу тонкой линзы.
2. Получаем расстояние до изображения и его увеличение, сохраняя знак и единицы.
3. Переносим найденное изображение в схему второго элемента: его положение относительно второго элемента задаёт новое расстояние до предмета.
4. Повторно применяем формулу второго элемента и определяем окончательное положение и характер изображения.

Ответ: система решается поэтапно, без объединения формул в случайное выражение. После каждого шага нужно проверять, может ли полученное промежуточное изображение служить предметом для следующего элемента.

Типичные ошибки

Подстановка сантиметров в формулу, где фокусное расстояние требуется в метрах, приводит к ошибке в сто раз и более. Так поступают, потому что в условии все длины записаны в одной привычной единице. Проверка проста: перед вычислением выпишите единицы каждой величины и оцените размерность результата.

Углы падения и преломления отсчитывают от нормали, а не от поверхности. Ошибка возникает из-за того, что луч визуально образует угол именно с границей среды. Проверьте рисунок: угол закона преломления должен быть между лучом и перпендикуляром к поверхности.

Формулу тонкой линзы нельзя применять без учёта типа линзы и принятого соглашения о знаках. Иначе действительное изображение можно назвать мнимым или перепутать собирающую линзу с рассеивающей. Сверьте вычисленное положение с правилом: у собирающей линзы предмет дальше фокуса даёт действительное изображение.

При интерференции путают условия максимума и минимума. Причина — нечётное и чётное число полуволн легко смешиваются при преобразовании разности хода. Запомните: Δ = mλ соответствует усилению, а Δ = (m + ½)λ — ослаблению.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны законы отражения и преломления, свойства собирающих и рассеивающих линз, формула тонкой линзы, условия интерференции и дифракции. Эти знания образуют единую основу геометрической и волновой оптики.

Навык пригодится при изучении оптических приборов, спектров, измерения длины волны и экспериментальных схем. В сложных задачах несколько явлений могут последовательно влиять на один результат.

Связь с математикой проявляется в преобразовании формул, вычислении синусов и работе с размерностями. Умение проверять область допустимых значений помогает отличать вычислительную ошибку от физически невозможного ответа.

Что запомнить

• Сначала строят оптическую схему и выделяют известные и искомые величины.
• Каждой задаче соответствует физическая модель и применимый закон.
• Углы падения и преломления отсчитывают от нормали к поверхности.
• В формулах необходимо использовать согласованные единицы измерения.
• Знак результата помогает определить характер изображения или интерференционного эффекта.
• Ответ проверяют по размерности, схеме и физическому смыслу.
• В сложной задаче решение разбивают на последовательные этапы.