§ 1.15. Преломление света в плоскопараллельной пластинке и треугольной призме

Определения и обозначения

Плоскопараллельная пластинка — прозрачное тело с двумя параллельными плоскими гранями. Её толщину обычно обозначают d, а показатель преломления вещества — n. Эти величины нужны, чтобы определить, насколько изменится путь луча внутри тела и какое смещение он получит.

Боковое смещение луча — расстояние между продолжением падающего луча и вышедшим из пластинки лучом. Его обозначают, например, l. Оно показывает не изменение направления, а сдвиг луча в сторону; при нормальном падении смещение равно нулю.

Преломляющий угол призмы — угол A между плоскостями её граней, через которые проходит свет. Именно непараллельность этих граней отличает призму от пластинки. Величина A участвует в связи внутренних углов луча: r₁ + r₂ = A.

Угол отклонения призмы — угол δ между направлениями падающего и вышедшего лучей. Он характеризует, насколько призма изменила направление света. Для призмы в воздухе его можно найти по формуле δ = i₁ + i₂ − A.

Как это устроено

При входе в пластинку луч встречает границу двух сред и преломляется по закону Снеллиуса: n₁ sin i = n₂ sin r. Здесь i и r отсчитывают от нормали к поверхности, а не от самой поверхности. Если свет входит из воздуха в стекло, показатель преломления увеличивается, поэтому луч отклоняется к нормали.

На выходе луч снова переходит в воздух и преломляется на второй грани. Нормали к двум граням пластинки параллельны, поэтому угол, под которым луч подходит ко второй границе относительно её нормали, связан с первым углом так же, как при входе. Второе преломление компенсирует первое изменение направления, и вышедший луч оказывается параллельным падающему.

Параллельность не означает совпадение лучей: внутри пластинки луч проходит по наклонному отрезку и выходит в другой точке. Для геометрии смещения используют толщину d и углы i и r. Из прямоугольного треугольника получается l = d sin(i − r) / cos r: при увеличении толщины или разницы углов смещение возрастает.

В призме грани не параллельны, поэтому нормали к ним тоже имеют разные направления. Если внутри призмы луч образует с нормалями углы r₁ и r₂, геометрия даёт r₁ + r₂ = A. На первой и второй границах отдельно применяют закон Снеллиуса, а затем находят общий поворот луча: δ = i₁ + i₂ − A.

Чем больше показатель преломления вещества, тем сильнее луч меняет направление на каждой границе; увеличение угла A также обычно усиливает отклонение. Однако зависимость определяется одновременно углом падения, показателем преломления и формой призмы. При наименьшем отклонении ход луча симметричен: i₁ = i₂ и r₁ = r₂ = A/2.

Ход луча в пластинке и призме

Сначала определите, параллельны ли грани: это сразу подсказывает, изменится ли направление после выхода. Затем выберите нужную геометрическую формулу и подставьте углы, отсчитанные от нормалей. Для призмы сначала находят углы на каждой грани, а потом вычисляют общее отклонение.

Разбор задач

1. Угол преломления в пластинке

Условие: луч падает на пластинку из воздуха под углом i, показатель преломления пластинки равен n, показатель воздуха можно принять равным 1. Требуется найти угол r внутри пластинки. Числовые данные не заданы, поэтому ответ запишем в общем виде.

1. Записываем закон Снеллиуса для первой границы: 1 · sin i = n · sin r.
2. Выражаем синус угла преломления: sin r = sin i / n.
3. Находим сам угол: r = arcsin(sin i / n). Угол отсчитывается от нормали, поэтому заменять i на угол к поверхности нельзя.

Ответ: r = arcsin(sin i / n). При n > 1 угол внутри пластинки меньше угла падения, если свет идёт из воздуха.

2. Боковое смещение

Условие: толщина пластинки равна d, угол падения — i, угол преломления внутри — r. Нужно определить расстояние между продолжением падающего луча и вышедшим лучом. Рассматриваем поперечный треугольник, образованный толщиной пластинки и разностью направлений лучей.

1. Разность углов внутри геометрической конструкции равна i − r, потому что оба угла измеряются от параллельных нормалей.
2. Из прямоугольного треугольника выражаем смещение через толщину: l = d sin(i − r) / cos r.
3. Если угол падения равен нулю, то i = r и формула даёт l = 0, что служит проверкой результата.

Ответ: l = d sin(i − r) / cos r. Чем толще пластинка и сильнее различаются направления луча в воздухе и внутри вещества, тем больше боковой сдвиг.

3. Выход луча из призмы

Условие: преломляющий угол призмы равен A, показатель преломления вещества — n, угол падения на первую грань — i₁. Нужно найти угол выхода i₂ и отклонение δ, считая окружающую среду воздухом. Обозначим внутренние углы преломления через r₁ и r₂.

1. На первой грани применяем закон Снеллиуса: sin i₁ = n sin r₁, поэтому r₁ = arcsin(sin i₁ / n).
2. По геометрии призмы находим второй внутренний угол: r₂ = A − r₁.
3. На второй грани используем закон преломления: n sin r₂ = sin i₂, откуда i₂ = arcsin(n sin r₂).
4. После этого вычисляем отклонение: δ = i₁ + i₂ − A. Если луч идёт симметрично, то r₁ = r₂ = A/2 и отклонение минимально.

Ответ: i₂ = arcsin(n sin(A − r₁)), где r₁ = arcsin(sin i₁ / n), а δ = i₁ + i₂ − A. Для конкретных чисел нужно проверить, что луч действительно выходит через вторую грань, а не испытывает полное внутреннее отражение.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что пластинка совсем не меняет ход луча. Её допускают, потому что забывают различать направление и положение луча. Проверьте себя: вышедший луч должен быть параллелен падающему, но при наклонном падении находиться сбоку от его продолжения.

Ошибка: отсчитывать углы от поверхности. Так делают, ориентируясь на рисунок, где линия границы кажется главным направлением. Проверьте построение: сначала проведите нормаль под прямым углом к грани, затем измеряйте i и r от неё.

Ошибка: путать боковое смещение с углом отклонения. Смещение измеряется как расстояние, а отклонение — как угол между направлениями. Для пластинки общий угол отклонения равен нулю, хотя расстояние между лучами может быть ненулевым.

Ошибка: считать углы на двух гранях призмы равными при любом ходе луча. Равенство i₁ и i₂, а также r₁ и r₂ относится к симметричному ходу, обычно при наименьшем отклонении. В общем случае сначала используйте r₁ + r₂ = A и отдельно применяйте закон Снеллиуса на каждой грани.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон отражения, закон преломления света и показатель преломления. Без них нельзя определить направление луча на каждой границе сред. Полезно также уметь строить нормаль и работать с углами в треугольниках.

Геометрия хода лучей понадобится при изучении линз и оптических систем. Боковое смещение помогает анализировать прохождение света через плоские детали приборов. Призма особенно важна для понимания дисперсии — разложения белого света по цветам.

Что запомнить

• Углы падения и преломления отсчитывают от нормали.
• В пластинке с параллельными гранями вышедший луч параллелен падающему.
• Плоскопараллельная пластинка обычно вызывает боковое смещение луча.
• В призме непараллельность граней приводит к изменению направления луча.
• Для призмы внутренние углы связаны соотношением r₁ + r₂ = A.
• При симметричном ходе луча через призму отклонение минимально.