§ 1.14. Полное отражение

Определения и обозначения

Оптически более плотная среда имеет больший показатель преломления n, а оптически менее плотная — меньший. Эти названия сравнивают не плотность вещества в обычном смысле, а то, насколько сильно среда изменяет скорость распространения света. Для полного отражения свет должен идти из среды с большим n в среду с меньшим.

Полное внутреннее отражение — явление, при котором свет не переходит во вторую среду, а целиком отражается от границы раздела. Оно возможно потому, что при достаточно большом наклоне луча закон преломления уже не допускает выхода луча во вторую среду. Это свойство позволяет направлять свет внутри специальных световодов.

Предельный угол полного отражения αкр — такой угол падения, при котором преломлённый луч идёт вдоль границы раздела сред. Угол падения отсчитывают от нормали, то есть от перпендикуляра к поверхности. При дальнейшем увеличении угла падения начинается полное отражение.

В формулах n₁ обозначает показатель преломления среды, из которой падает луч, а n₂ — показатель второй среды. Для полного отражения должно выполняться n₁ > n₂. Такое обозначение помогает не перепутать показатели местами при расчётах.

Как это устроено

На границе двух сред направление света меняется согласно закону преломления: n₁ sin α = n₂ sin β, где α — угол падения, а β — угол преломления. Если свет переходит из более плотной среды в менее плотную, n₁ > n₂. Поэтому для равенства произведений синус β должен быть больше синуса α, а значит, β > α.

Увеличим угол падения α, сохраняя переход в менее плотную среду. Угол преломления β тоже увеличивается, потому что именно он должен компенсировать уменьшение показателя преломления второй среды. В некоторый момент β достигает 90°, и преломлённый луч располагается вдоль границы.

Для этого предельного случая в закон преломления подставляют sin 90° = 1. Получается n₁ sin αкр = n₂, откуда sin αкр = n₂/n₁. Предельный угол существует только при n₁ > n₂: тогда отношение n₂/n₁ меньше единицы и может быть синусом реального угла. Если же первая среда менее плотная, отношение превышает единицу, что невозможно для синуса обычного угла.

Когда α становится больше αкр, закон преломления потребовал бы sin β > 1. Такого значения у синуса нет, поэтому действительного преломлённого луча не возникает. Энергия света возвращается в первую среду в виде отражённого луча, и наблюдается полное внутреннее отражение.

Оптоволокно использует это явление специально. Его сердцевина имеет больший показатель преломления, чем оболочка, поэтому свет внутри сердцевины падает на границу под углами, превышающими предельный. Луч многократно отражается от стенок, почти не покидает световод и переносит световой сигнал на большие расстояния.

Переход света через границу двух сред

Сначала определите направление перехода и найдите предельный угол, если первая среда имеет больший показатель преломления. Затем сравните угол падения с αкр. Углы в таблице отсчитываются от нормали к границе, а не от самой поверхности.

Разбор задач

Задача 1

Луч идёт из стекла с n₁ = 1,5 в воздух с n₂ ≈ 1. Нужно найти предельный угол полного отражения.

1. Переход идёт из более плотной среды в менее плотную, поэтому формулу применять можно.
2. Подставим показатели: sin αкр = n₂/n₁ = 1/1,5 ≈ 0,667.
3. Вычислим обратный синус: αкр ≈ 41,8°.

Ответ: предельный угол равен примерно 42°.

Задача 2

Свет переходит из воды n₁ = 1,33 в воздух n₂ = 1 и падает под углом 50° к нормали. Требуется выяснить, будет ли полное отражение.

1. Направление подходящее: вода имеет больший показатель преломления, чем воздух.
2. Находим sin αкр = 1/1,33 ≈ 0,752, поэтому αкр ≈ 48,8°.
3. Сравниваем: 50° > 48,8°. Значит, угол падения больше предельного.

Ответ: полное внутреннее отражение произойдёт.

Задача 3

Стеклянный световод с n₁ = 1,5 окружён веществом n₂ = 1,3. Нужно найти предельный угол и проверить луч с α = 65°.

1. Свет идёт из стекла в менее плотное вещество, поэтому αкр существует.
2. Вычисляем sin αкр = 1,3/1,5 ≈ 0,867, откуда αкр ≈ 60,1°.
3. Так как 65° > 60,1°, луч полностью отражается от границы и остаётся внутри световода.

Ответ: αкр ≈ 60°, свет будет удерживаться в световоде.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Условие полного отражения применяют при переходе в более плотную среду. Так делают, если смотрят только на большой угол падения, забывая о направлении света. Сначала сравните n₁ и n₂: нужно n₁ > n₂.

Ошибка 2. При предельном угле считают, что преломлённого луча уже нет. На самом деле он идёт вдоль границы, а исчезает только при угле, большем предельного. Проверьте, что при α = αкр записано β = 90°.

Ошибка 3. Показатели в формуле n₂/n₁ меняют местами. Причина — обозначения воспринимают как номера сред, а не как порядок перехода. Обозначьте первой ту среду, из которой выходит луч, и только потом подставляйте значения.

Ошибка 4. Углы отсчитывают от поверхности. Закон преломления использует углы от нормали, поэтому такой отсчёт даёт неверное сравнение. Нарисуйте перпендикуляр к границе и измеряйте угол между ним и лучом.

Связь с другими темами

Для понимания полного отражения нужны закон отражения, закон преломления и представление о показателе преломления. Закон преломления показывает, как меняется направление луча, а показатель преломления связывает свойства среды со скоростью света в ней.

Практическое продолжение темы — оптоволокно и световоды. Полное отражение удерживает свет внутри сердцевины, поэтому по оптическим волокнам передают данные, телефонные разговоры и изображения.

Что запомнить

• Полное внутреннее отражение возможно при переходе из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим.
• Угол падения и угол преломления отсчитывают от нормали к границе.
• При предельном угле преломлённый луч идёт вдоль границы раздела.
• Для предельного угла sin αкр = n₂/n₁, где n₁ > n₂.
• При угле падения больше предельного свет испытывает полное внутреннее отражение.
• Полное отражение позволяет удерживать свет внутри оптоволокна.