§ 62. Полное отражение

Определения и обозначения

Полное внутреннее отражение — явление, при котором свет полностью отражается от границы двух сред и не проходит во вторую. Оно возможно не при любом падении луча, а только при определённом направлении перехода и достаточно большом угле. Это условие помогает отличить полное отражение от обычного, при котором часть света преломляется.

Оптически более плотная среда — среда с большим показателем преломления n. В ней свет распространяется медленнее: скорость v связана с показателем преломления формулой v = c/n, где c — скорость света в вакууме. Поэтому большему n соответствует меньшая скорость света, и именно это различие определяет, как луч меняет направление на границе.

Предельный угол полного отражения обозначают αпр. Это угол падения, при котором преломлённый луч направлен вдоль границы раздела, то есть угол преломления равен 90°. Он служит границей между режимом, когда свет ещё выходит во вторую среду, и режимом полного отражения.

Критический угол полного отражения — это угол падения, выше которого при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную возникает полное отражение. В этой теме его также называют предельным углом и обозначают αпр. Сравнение угла падения с этим значением позволяет заранее определить поведение луча.

Как это устроено

Полное отражение возможно, когда свет направлен из оптически более плотной среды в менее плотную. При таком переходе луч преломляется от перпендикуляра к границе, поэтому угол преломления больше угла падения. Если направить свет из менее плотной среды в более плотную, луч, наоборот, отклоняется к перпендикуляру, и описанный механизм полного отражения не возникает.

Угол падения отсчитывают от перпендикуляра к границе в точке падения, а не от самой границы. При переходе из более плотной среды в менее плотную увеличение этого угла сопровождается увеличением угла преломления. Поэтому преломлённый луч всё сильнее приближается к границе: его направление становится почти параллельным поверхности раздела.

Наступает момент, когда угол преломления становится равен 90°, а луч идёт вдоль границы. Угол падения, при котором это происходит, называют предельным и обозначают αпр. Его можно найти из закона преломления n₁ sin αпр = n₂ sin 90°; поскольку sin 90° = 1, получаем sin αпр = n₂/n₁, где n₁ > n₂.

Если угол падения увеличить сверх предельного, закон преломления потребовал бы для преломлённого луча синус угла больше единицы: sin β = (n₁/n₂) sin α. Такого действительного угла β не существует, поэтому распространяющегося во второй среде преломлённого луча нет. В идеальном случае вся световая энергия отражается обратно в первую среду; на практике небольшие потери возможны из-за поглощения.

В оптическом волокне свет распространяется по сердцевине, окружённой оболочкой с меньшим показателем преломления. Лучи многократно попадают на границу этих материалов под углами, превышающими предельный, и каждый раз полностью отражаются внутрь сердцевины. Благодаря этому световой сигнал может пройти по изогнутому волокну, не выходя наружу при каждом столкновении с границей.

Условия и проявления полного внутреннего отражения

Сначала определите, из какой среды в какую направлен свет: без перехода из более плотной среды в менее плотную полного отражения не будет. Затем сравните угол падения с αпр, а не с 90°. Равенство углов означает, что луч идёт вдоль границы, а полное отражение возникает только при превышении предельного угла.

Разбор задач

Предельный угол на границе стекла и воздуха

Луч идёт из стекла с n₁ = 1,5 в воздух с n₂ = 1. Требуется найти предельный угол полного отражения. Свет направлен из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим, поэтому формулу предельного угла применять можно.

1. Записываем условие: n₁ = 1,5, n₂ = 1. Показатель стекла больше показателя воздуха, значит, порядок сред выбран верно. Искомая величина — угол падения αпр.
2. Используем соотношение sin αпр = n₂/n₁. Подставляем значения: sin αпр = 1/1,5 ≈ 0,667. Отношение меньше единицы, поэтому такое значение синуса возможно.
3. Находим угол с помощью обратной функции синуса: αпр = arcsin(0,667) ≈ 41,8°. Полученное значение и есть граница между преломлением и полным отражением. Ответ: предельный угол составляет примерно 42°.

Переход из воды в воздух

Луч падает из воды в воздух под углом 50°; nводы = 1,33, nвоздуха = 1,00. Нужно определить, выйдет ли луч в воздух. Сначала проверяем направление: вода оптически плотнее воздуха, следовательно, полное отражение возможно.

1. Находим предельный угол по формуле sin αпр = n₂/n₁. Для воды и воздуха sin αпр = 1,00/1,33 ≈ 0,752, откуда αпр ≈ 48,8°. Значит, предельный угол меньше заданного.
2. Сравниваем углы: 50° > 48,8°. Преломлённый луч с таким углом падения распространяться в воздухе не может, поэтому свет не выйдет через эту границу. Ответ: произойдёт полное внутреннее отражение.

Стеклянная призма

Луч падает изнутри стеклянной призмы на границу стекла и воздуха. Пусть показатели преломления равны 1,5 и 1,0, как в первом примере. Нужно установить, при каких углах будет полное отражение, и объяснить применение эффекта для поворота луча.

1. Сначала определяем предельный угол: sin αпр = 1,0/1,5, поэтому αпр ≈ 41,8°. Направление перехода подходит: луч идёт из стекла в воздух. Значит, вычисленная граница применима к данной поверхности призмы.
2. При угле падения меньше 41,8° часть света может преломиться в воздух. При угле ровно 41,8° преломлённый луч направится вдоль поверхности, а при большем угле возникнет полное отражение. Таким образом, для полного отражения нужны углы падения больше примерно 42°.
3. Если грани призмы расположены подходящим образом, отражённый луч меняет направление внутри неё, не выходя через отражающую грань. Такие призмы используют в оптических приборах, чтобы эффективно поворачивать ход светового луча. Ответ: полное отражение будет при α > 41,8°.

Типичные ошибки

Считают, что полное отражение возможно при любом направлении перехода. Ошибку допускают, если помнят только о большом угле и не проверяют показатели преломления: из воздуха в стекло луч идёт из менее плотной среды в более плотную. Для самопроверки сначала сравните n₁ и n₂ и убедитесь, что свет направлен из среды с большим n в среду с меньшим.

Предельный угол иногда принимают за угол преломления. Путаница возникает потому, что в предельном случае угол преломления действительно равен 90°, но αпр — это именно угол падения. Проверяйте, к какому лучу относится искомый угол: αпр измеряют между падающим лучом и перпендикуляром к границе.

Некоторые сравнивают угол падения с 90° и считают, что полное отражение начинается только около этого значения. Но решающим является не прямой угол, а предельный угол, который зависит от двух сред и обычно меньше 90°. Найдите αпр по показателям преломления, а затем сравните с ним угол падения.

В формуле sin αпр = n₂/n₁ могут поменять местами показатели преломления. Это происходит, если забыть, что n₁ относится к первой, более плотной среде, а n₂ — ко второй, менее плотной. Проверьте результат: отношение n₂/n₁ должно быть меньше единицы, иначе для такой пары сред и направления перехода предельный угол по этой формуле не определяется.

Связь с другими темами

Для понимания полного отражения нужны закон отражения и закон преломления света, а также понятие показателя преломления. Закон преломления позволяет получить формулу для предельного угла, а сравнение скоростей света помогает определить, какая среда оптически плотнее. В оптических волокнах и световодах многократное отражение удерживает сигнал внутри сердцевины; такие устройства применяют в связи и медицине. Призмы оптических приборов используют полное отражение, чтобы изменять направление световых лучей.

Что запомнить

• Полное внутреннее отражение возможно при переходе света из оптически более плотной среды в менее плотную.
• Предельный угол — угол падения, при котором угол преломления равен 90°.
• Для предельного угла выполняется sin αпр = n₂/n₁ при n₁ > n₂.
• При угле падения, большем предельного, преломлённого луча нет.
• При полном внутреннем отражении свет отражается обратно в первую среду.
• Оптические волокна используют многократное полное внутреннее отражение.